Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow{AG}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{BC}\).
 | \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) |
 | \(\overrightarrow{AG}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) |
 | \(\overrightarrow{AG}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) |
 | \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) |
Chọn phương án B.
Dùng phương pháp tọa độ, đặt \(A(0;0)\), \(B(0;6)\), \(C(6;0)\). Khi đó:
- Trọng tâm \(G(2;2)\)
- \(\overrightarrow{AG}=(2;2)\), \(\overrightarrow{BA}=(0;-6)\), \(\overrightarrow{BC}=(6;-6)\)
Ta có hệ $$\begin{cases}
6n=2\\ -6m-6n=2
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
m=-\dfrac{2}{3}\\ n=\dfrac{1}{3}
\end{cases}$$
Vậy \(\overrightarrow{AG}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).
Chọn phương án B.
Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), ta có $$\begin{aligned}
\overrightarrow{AG}&=\dfrac{2}{3}AM\\
&=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right)\\
&=\dfrac{2}{3}\left(-\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right)\\
&=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}.
\end{aligned}$$