Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f\left(2\right)=25$ và $f'\left(x\right)=4x\sqrt{f\left(x\right)}$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^3f\left(x\right)\mathrm{\,d}x$ bằng
$\dfrac{1073}{15}$ | |
$\dfrac{458}{15}$ | |
$\dfrac{838}{15}$ | |
$\dfrac{1016}{15}$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f'\left(x\right)=3-5\cos x$ và $f\left(0\right)=5$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
$f\left(x\right)=3x+5\sin x+2$ | |
$f\left(x\right)=3x-5\sin x-5$ | |
$f\left(x\right)=3x-5\sin x+5$ | |
$f\left(x\right)=3x+5\sin x+5$ |
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \((0;+\infty)\) và thỏa mãn \(f(1)=1\), \(f(x)=f'(x)\sqrt{3x+1}\), với mọi \(x>0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(4< f(5)<5\) | |
\(3< f(5)<4\) | |
\(1< f(5)<2\) | |
\(2< f(5)<3\) |
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có \(f\left(3\right)=3\) và \(f'\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1-\sqrt{x+1}}\), \(\forall x>0\). Khi đó \(\displaystyle\int\limits_3^8f\left(x\right)\mathrm{\,d}x\) bằng
\(7\) | |
\(\dfrac{197}{6}\) | |
\(\dfrac{29}{2}\) | |
\(\dfrac{181}{6}\) |
Cho \(M\), \(N\) là các số thực, xét hàm số \(f(x)=M\sin\pi x+N\cos\pi x\) thỏa mãn \(f(1)=3\) và \(\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{1}{2}}f(x)\mathrm{\,d}x=-\dfrac{1}{\pi}\). Giá trị của \(f'\left(\dfrac{1}{4}\right)\) bằng
\(\dfrac{5\pi\sqrt{2}}{2}\) | |
\(-\dfrac{5\pi\sqrt{2}}{2}\) | |
\(-\dfrac{\pi\sqrt{2}}{2}\) | |
\(\dfrac{\pi\sqrt{2}}{2}\) |
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(f'(x)=x+\sin x\) và \(f(0)=1\). Tìm \(f(x)\).
\(f(x)=\dfrac{x^2}{2}-\cos x+2\) | |
\(f(x)=\dfrac{x^2}{2}-\cos x-2\) | |
\(f(x)=\dfrac{x^2}{2}+\cos x\) | |
\(f(x)=\dfrac{x^2}{2}+\cos x+\dfrac{1}{2}\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\), có đạo hàm \(f'(x)=(x^2-1)x\) trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(2)=0\). Tính \(\displaystyle\int\limits_0^1f(x)\mathrm{\,d}x\).
\(\dfrac{7}{60}\) | |
\(-\dfrac{127}{60}\) | |
\(\dfrac{113}{60}\) | |
\(-\dfrac{7}{60}\) |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x)+x f'(x)=4x^3-6x^2$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ và $y=f'(x)$ bằng
$\dfrac{7}{12}$ | |
$\dfrac{45}{4}$ | |
$\dfrac{1}{2}$ | |
$\dfrac{71}{6}$ |
Cho hàm số $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ với $a,\,b,\,c$ là các số thực. Biết hàm số $g(x)=f(x)+f'(x)+f''(x)$ có hai giá trị cực trị là $-3$ và $6$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f(x)}{g(x)+6}$ và $y=1$ bằng
$2\ln3$ | |
$\ln3$ | |
$\ln18$ | |
$2\ln2$ |
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f(x)+2f(2-x)=x^2-6x+4$. Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^3x f^{\prime}(x)\mathrm{d}x$ bằng
$20$ | |
$\dfrac{149}{3}$ | |
$\dfrac{167}{3}$ | |
$\dfrac{176}{9}$ |
Tính thể tích $V$ của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0,\,x=\pi$. Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\,(0\leq x\leq\pi)$ là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $\sin x+2$.
$\dfrac{7\pi}{6}+1$ | |
$\dfrac{9\pi}{8}+1$ | |
$\dfrac{7\pi}{6}+2$ | |
$\dfrac{9\pi}{8}+2$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ thỏa mãn $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x-1}$, $f(3)=2021$. Tính $f(5)$.
$f(5)=2020-\dfrac{1}{2}\ln2$ | |
$f(5)=2021-\ln2$ | |
$f(5)=2021+\ln2$ | |
$f(5)=2020+\ln2$ |
Cho $F(x)=x+\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-\cos x$ | |
$f(x)=1-\sin x$ | |
$f(x)=1+\sin x$ | |
$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+\sin x$ |
Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x+\cos x}$.
$y'=\dfrac{1+\sin x}{2\sqrt{x+\cos x}}$ | |
$y'=\dfrac{1-\sin x}{\sqrt{x+\cos x}}$ | |
$y'=\dfrac{1-\sin x}{2\sqrt{x+\cos x}}$ | |
$y'=\dfrac{1-\sin x}{2\sqrt{x+\sin x}}$ |
Mệnh đề nào sau đây là sai?
$(\cos x)^{\prime}=-\sin x$ | |
$(\sin x)^{\prime}=-\cos x$ | |
$(\cot x)^{\prime}=-\dfrac{1}{\sin^2x}$ | |
$(\tan x)^{\prime}=\dfrac{1}{\cos^2x}$ |
Tính đạo hàm của hàm số $y=\cot3x$.
$y'=-\dfrac{3}{\sin^2x}$ | |
$y'=\dfrac{3}{\sin^23x}$ | |
$y'=-\dfrac{3}{\sin^33x}$ | |
$y'=-\dfrac{3}{\sin^23x}$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{4}}\cos4x\cos x\mathrm{\,d}x=\dfrac{\sqrt{2}}{a}+\dfrac{b}{c}$ với $a,\,b,\,c$ là các số nguyên, $c< 0$ và $\dfrac{b}{c}$ tối giản. Tổng $a+b+c$ bằng
$-77$ | |
$-17$ | |
$103$ | |
$43$ |
Tính tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{4}}\sin x\mathrm{\,d}x$.
$I=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | |
$I=-1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | |
$I=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | |
$I=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
Cho các số thực $a,\,b$ ($a< b$) và hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
$\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=f'(a)-f'(b)$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{\,d}x=f(b)-f(a)$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=f'(b)-f'(a)$ | |
$\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{\,d}x=f(a)-f(b)$ |
Hàm số $y=\cot x$ có đạo hàm là
$y'=-\dfrac{1}{\cos^2x}$ | |
$y'=-\dfrac{1}{\sin^2x}$ | |
$y'=\tan x$ | |
$y'=\dfrac{1}{\sin^2x}$ |