Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên hợp với đáy một góc $60^\circ$. Gọi $M$ là điểm đối xứng với $C$ qua $D$, $N$ là trung điểm $SC$. Mặt phẳng $(BMN)$ chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính thể tích $V$ của khối đa diện chứa đỉnh $C$.
 | $V=\dfrac{7\sqrt{6}a^3}{72}$ |
 | $V=\dfrac{7\sqrt{6}a^3}{36}$ |
 | $V=\dfrac{5\sqrt{6}a^3}{36}$ |
 | $V=\dfrac{5\sqrt{6}a^3}{72}$ |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$, $SA\perp(ABCD)$ và $2a\sqrt{2}$.
- Chứng minh rằng $BD\perp(SAC)$.
- Tính góc tạo bởi $SC$ và $(SAD)$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=3$, $AD=4$. Biết đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc tạo bởi đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
| $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ |
| $\dfrac{5}{2}$ |
| $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ |
| $\dfrac{5}{3}$ |
Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $SA=SB=SC=AC=a$, $SB$ tạo với mặt phẳng $(SAC)$ một góc $30^\circ$. Thể tích khối chóp đã cho bằng
| $\dfrac{a^3}{4}$ |
| $\dfrac{a^3}{8}$ |
| $\dfrac{\sqrt{3}a^3}{12}$ |
| $\dfrac{\sqrt{3}a^3}{24}$ |
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy bằng a và chiều cao bằng $\dfrac{\sqrt{3}a}{6}$. Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt phẳng đáy bằng
| $45^\circ$ |
| $90^\circ$ |
| $60^\circ$ |
| $30^\circ$ |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $AB=3$, $AD=4$. Biết đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc tạo bởi đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
| $\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ |
| $\dfrac{5}{2}$ |
| $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ |
| $\dfrac{5}{3}$ |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$, $SA=a\sqrt{5}$, tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a$, $AD=2a$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ bằng
| $45^\circ$ |
| $30^\circ$ |
| $60^\circ$ |
| $90^\circ$ |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA\bot (ABCD)$ và $SA=a$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng
| $45^\circ$ |
| $90^\circ$ |
| $30^\circ$ |
| $60^\circ$ |
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc $60^\circ$. Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.
| $V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}$ |
| $V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{2}$ |
| $V=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{3}$ |
| $V=\dfrac{a^3}{3}$ |
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy bằng $2$, cạnh bên bằng $3$. Gọi $\varphi$ là góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $\tan\varphi=\sqrt{7}$ |
| $\varphi=60^\circ$ |
| $\varphi=45^\circ$ |
| $\tan\varphi=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$ |
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $2a$, diện tích xung quanh của hình nón đỉnh $S$ và đáy là hình tròn nội tiếp $ABCD$ bằng
| $\dfrac{\pi a^2\sqrt{17}}{8}$ |
| $\dfrac{\pi a^2\sqrt{15}}{4}$ |
| $\dfrac{\pi a^2\sqrt{17}}{4}$ |
| $\dfrac{\pi a^2\sqrt{17}}{6}$ |
Cho khối chóp tứ giác đều có chiều cao bằng $6$ và thể tích bằng $8$. Độ dài cạnh đáy bằng
| $3$ |
| $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ |
| $4$ |
| $2$ |
Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$. Biết diện tích tứ giác $ABCD$ bằng ba lần diện tích tam giác $SAB$. Tính thể tích khối chóp đã cho.
| $\dfrac{a^3\sqrt{7}}{18}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{7}}{6}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{7}}{3}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{7}}{12}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu của điểm $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $H$ trên cạnh $AC$ thỏa mãn $AH=\dfrac{2}{3}AC$. Đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc bằng $60^\circ$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
| $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}$ |
| $\dfrac{a^3}{12}$ |
| $\dfrac{a^3}{9}$ |
| $\dfrac{a^3\sqrt{2}}{9}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB=a$, $AC=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SB$ tạo với mặt đáy một góc $60^\circ$. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $BC$. Thể tích khối chóp $A.SCNM$ bằng
| $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^3$ |
| $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^3$ |
| $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^3$ |
| $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^3$ |
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy là $2a$ và chiều cao là $3a$. Thể tích của khối nón có đỉnh $S$ và đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác $ABCD$ bằng
| $4\pi a^3$ |
| $\pi a^3$ |
| $3\pi a^3$ |
| $2\pi a^3$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, $SA=2a$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AB=a\sqrt{3}$ và $BC=a$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng
| $90^{\circ}$ |
| $30^{\circ}$ |
| $45^{\circ}$ |
| $60^{\circ}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $SA=a$ và vuông góc với mặt đáy. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ có số đo
| $45^\circ$ |
| $90^\circ$ |
| $30^\circ$ |
| $60^\circ$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $SA=a\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt đáy. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ có số đo
| $60^\circ$ |
| $90^\circ$ |
| $30^\circ$ |
| $45^\circ$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp AB$ và $SA\perp BC$. Khẳng định nào sau đây không đúng?
| $AB\perp BC$ |
| $SA\perp AC$ |
| $SA\perp(ABC)$ |
| $\big(SA,(ABC)\big)=90^\circ$ |