Trong không gian $Oxyz$, xét mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4;8;12)$ và bán kính $R$ thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $R$ sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của $(S)$ trong mặt phẳng $(Oyz)$ mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua $O$ và góc giữa chúng không nhỏ hơn $60^\circ$?
 | $6$ |
 | $2$ |
 | $10$ |
 | $5$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon(x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=4$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;-2)$, nhận $\overrightarrow{u}=(1;a;1-a)$ (với $a\in\mathbb{R}$) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng $d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của $(S)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi $a^2$ thuộc khoảng nào dưới đây?
| $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)$ |
| $\left(\dfrac{3}{2};2\right)$ |
| $\left(7;\dfrac{15}{2}\right)$ |
| $\left(0;\dfrac{1}{4}\right)$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-1)$ và mặt phẳng $(P)\colon x+2y+z=0$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là
| $\begin{cases}x=1+t\\ y=2-2t\\ z=-1+t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=1-t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=1+t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=-1+t\end{cases}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(5;2;1)$ và $B(1;0;1)$. Phương trình của mặt cầu đường kính $AB$ là
| $(x+3)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=5$ |
| $(x-3)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=20$ |
| $(x-3)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=5$ |
| $(x+3)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=20$ |
Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2;1;-1)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-2;3)$ là
| $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-3}{-1}$ |
| $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z+1}{3}$ |
| $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+3}{-1}$ |
| $\dfrac{x+2}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z-1}{3}$ |
Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình là
| $x=0$ |
| $z=0$ |
| $x+y+z=0$ |
| $y=0$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=(1;2;-2)$ và $\overrightarrow{v}=(2;-2;3)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ là
| $(-1;4;-5)$ |
| $(1;-4;5)$ |
| $(3;0;1)$ |
| $(3;0;-1)$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-1)$ và bán kính $R=2$. Phương trình của $(S)$ là
| $(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=4$ |
| $(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=2$ |
| $(x+1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=2$ |
| $(x+1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=4$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;4;3)$, $B(5;0;3)$. Một hình trụ $(T)$ nội tiếp trong mặt cầu đường kính $AB$ đồng thời nhận $AB$ làm trục của hình trụ. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là tâm các đường tròn đáy của $(T)$ ($M$ nằm giữa $A$, $N$). Khi thiết diện qua trục của $(T)$ có diện tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy tâm $M$ của $(T)$ có dạng $ax+by+cz+d=0$. Giá trị của $b-d$ bằng
| $2\sqrt{2}$ |
| $2+2\sqrt{2}$ |
| $-2\sqrt{2}$ |
| $4+\sqrt{2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-3)$, mặt phẳng $(P)\colon3x+y-z-1=0$ và mặt phẳng $(Q)\colon x+3y+z-3=0$. Gọi $(\Delta)$ là đường thẳng đi qua $A$, cắt và vuông góc với giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$. Sin của góc tạo bởi đường thẳng $(\Delta)$ và mặt phẳng $(P)$ bằng
| $\dfrac{7\sqrt{55}}{55}$ |
| $\dfrac{\sqrt{55}}{55}$ |
| $0$ |
| $\dfrac{-3\sqrt{55}}{11}$ |
Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(P)\colon x+2y+2z-5=0$ bằng
| $\mathrm{d}\big(M,(P)\big)=2$ |
| $\mathrm{d}\big(M,(P)\big)=4$ |
| $\mathrm{d}\big(M,(P)\big)=1$ |
| $\mathrm{d}\big(M,(P)\big)=3$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)\colon2x+y-z+3=0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$?
| $\overrightarrow{n_1}=(2;1;-1)$ |
| $\overrightarrow{n_3}=(1;-1;3)$ |
| $\overrightarrow{n_4}=(2;-1;3)$ |
| $\overrightarrow{n_2}=(2;1;3)$ |
Trong không gian $Oxyz$, gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)\colon x-\sqrt{3}y+2z+1=0$ và mặt phẳng $(Oxy)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
| $\alpha=45^{\circ}$ |
| $\alpha=30^{\circ}$ |
| $\alpha=60^{\circ}$ |
| $\alpha=90^{\circ}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;-1;3)$ và mặt phẳng $(P)\colon3x-2y+z+1=0$. Phương trình mặt phẳng đi qua $M$ và song song với $(P)$ là
| $3x-2y+z-11=0$ |
| $2x-y+3z-14=0$ |
| $3x-2y+z+11=0$ |
| $2x-y+3z+14=0$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon(x+1)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=25$. Tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là
| $I(-1;3;2),\,R=25$ |
| $I(1;-3;-2),\,R=5$ |
| $I(-1;3;2),\,R=5$ |
| $I(1;-3;-2),\,R=25$ |
Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d\colon\begin{cases}x=1+2t\\ y=2-2t \\ z=-3-3t\end{cases}$ đi qua điểm nào dưới đây?
| $(1;2;3)$ |
| $(2;2;3)$ |
| $(1;2;-3)$ |
| $(2;-2;-3)$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;2;3)$, $A(2;4;4)$ và hai mặt phẳng $(P)\colon x+y-2z+1=0$, $(Q)\colon x-2y-z+4=0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$, cắt $(P)$, $(Q)$ lần lượt tại $B,\,C$ sao cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và nhận $AM$ làm đường trung tuyến.
| $\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$ |
| $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)\colon ax+by+cz+d=0$ (với $abc>0$) đi qua hai điểm $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$. Biết $\mathrm{d}\big(O,(P)\big)=\dfrac{2}{3}$ và điểm $C(-3;1;0)$. Tính $\mathrm{d}\big(C,(P)\big)$.
| $3$ |
| $1$ |
| $2$ |
| $0$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d\colon\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $(P)\colon2x+y+2z-1=0$. Gọi $d'$ là hình chiếu của đường thẳng $(d)$ lên mặt phẳng $(P)$, vectơ chỉ phương của đường thẳng $d'$ là
| $\overrightarrow{u_2}=(5;-4;-3)$ |
| $\overrightarrow{u_1}=(5;16;-13)$ |
| $\overrightarrow{u_3}=(5;-16;-13)$ |
| $\overrightarrow{u_2}=(5;16;13)$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho $M(1;2;1)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M$ cắt các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A,\,B,\,C$ sao cho $\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
| $(P)\colon\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{1}=1$ |
| $(P)\colon x+y+z-4=0$ |
| $(P)\colon x+2y+3z-8=0$ |
| $(P)\colon x+2y+z-6=0$ |