Trong không gian \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(3;0;1\right)\), \(\overrightarrow{b}=\left(1;-1;-2\right)\), \(\overrightarrow{c}=\left(2;1;-1\right)\). Tính \(T=\overrightarrow{a}\cdot\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\).
 | \(T=3\) |
 | \(T=6\) |
 | \(T=0\) |
 | \(T=9\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}=(1;2;3)\) và \(\overrightarrow{v}=(-5;1;1)\). Khẳng định nào đúng?
| \(\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{v}\right|\) |
| \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\) |
| \(\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}\) |
| \(\overrightarrow{u}\) cùng phương với \(\overrightarrow{v}\) |
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=(1;2;-2)\), \(\overrightarrow{b}=(-4;0;1)\) và \(\overrightarrow{c}=(0;3;3)\). Tính \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\).
| \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot{\overrightarrow{c}}=3\) |
| \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot{\overrightarrow{c}}=9\) |
| \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot{\overrightarrow{c}}=0\) |
| \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot{\overrightarrow{c}}=-10\) |
Trong không gian \(Oxyz\) cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\), \(\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)\). Chọn câu đúng trong các câu sau:
| \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) |
| \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(b_1-a_1;b_2-a_2;b_3-a_3\right)\) |
| \(k\overrightarrow{b}=\left(ka_1;ka_2;ka_3\right),\,k\in\mathbb{R}\) |
| \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(a_2-b_2;a_1-b_1;a_3-b_3\right)\) |
Trong không gian \(Oxyz\) cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\), \(\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)\) đều khác vectơ-không. Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Câu nào sai trong các câu sau:
| \(\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0\) |
| \(\cos\alpha=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2\right)\cdot\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2\right)}\) |
| \(\cos\alpha=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}\) |
| \(\cos\alpha=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}\) |
Cho \(\vec{m}=(1;0;-1)\), \(\vec{n}=(0;1;1)\). Kết luận nào sai?
| Góc của \(\vec{m}\) và \(\vec{n}\) là \(30^\circ\) |
| \(\left[\vec{m},\vec{n}\right]=(1;-1;1)\) |
| \(\vec{m}\cdot\vec{n}=-1\) |
| \(\vec{m}\) và \(\vec{n}\) không cùng phương |
Trong không gian \(Oxyz\) cho điểm \(H(1;2;3)\). Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(H\) và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt \(A,\,B,\,C\) sao cho \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
| \((P)\colon x+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1\) |
| \((P)\colon x+2y+3z-14=0\) |
| \((P)\colon x+y+z-6=0\) |
| \((P)\colon\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho các vectơ \(\vec{a}=\left(1;0;3\right)\) và \(\vec{b}=\left(-2;2;5\right)\). Tích vô hướng \(\vec{a}\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\) bằng
| \(25\) |
| \(23\) |
| \(27\) |
| \(29\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec{a}=(3;-2;m)\) và \(\vec{b}=(2;m;-1)\). Tìm giá trị của \(m\) để \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) vuông góc với nhau.
| \(m=2\) |
| \(m=1\) |
| \(m=-2\) |
| \(m=-1\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(2;3;4)\) và \(B(3;0;1)\). Khi đó độ dài vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là
| \(\sqrt{19}\) |
| \(19\) |
| \(\sqrt{13}\) |
| \(13\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho vectơ \(\vec{a}=(2;-2;-4)\), \(\vec{b}=(1;-1;1)\). Mệnh đề nào dưới đây sai?
| \(\vec{a}+\vec{b}=(3;-3;-3)\) |
| \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng phương |
| \(\left|\vec{b}\right|=\sqrt{3}\) |
| \(\vec{a}\bot\vec{b}\) |
Trong không gian \(Oxyz\), tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{u}=(3;0;1)\) và \(\vec{v}=(2;1;0)\) bằng
| \(8\) |
| \(6\) |
| \(0\) |
| \(-6\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;-2;-1)\), \(B(1;4;3)\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng
| \(2\sqrt{13}\) |
| \(\sqrt{6}\) |
| \(3\) |
| \(2\sqrt{3}\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec{a}=(-3;4;0)\), \(\vec{b}=(5;0;12)\). Tính cosin góc giữa \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\).
| \(\dfrac{3}{13}\) |
| \(-\dfrac{3}{13}\) |
| \(-\dfrac{5}{6}\) |
| \(\dfrac{5}{6}\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\vec{u}=(-1;1;0)\), \(\vec{v}=(0;-1;0)\). Góc giữa \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) có số đo bằng
| \(120^\circ\) |
| \(45^\circ\) |
| \(135^\circ\) |
| \(60^\circ\) |
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\vec{a}=(-1;1;0)\), \(\vec{b}=(1;1;0)\), \(\vec{c}=(1;1;1)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
| \(\left|\vec{a}\right|=\sqrt{2}\) |
| \(\vec{c}\bot\vec{b}\) |
| \(\left|\vec{c}\right|=\sqrt{3}\) |
| \(\vec{a}\bot\vec{b}\) |
Trong không gian $Oxyz$, xét mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4;8;12)$ và bán kính $R$ thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $R$ sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của $(S)$ trong mặt phẳng $(Oyz)$ mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua $O$ và góc giữa chúng không nhỏ hơn $60^\circ$?
| $6$ |
| $2$ |
| $10$ |
| $5$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)\colon(x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=4$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;-2)$, nhận $\overrightarrow{u}=(1;a;1-a)$ (với $a\in\mathbb{R}$) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng $d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của $(S)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi $a^2$ thuộc khoảng nào dưới đây?
| $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)$ |
| $\left(\dfrac{3}{2};2\right)$ |
| $\left(7;\dfrac{15}{2}\right)$ |
| $\left(0;\dfrac{1}{4}\right)$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-1)$ và mặt phẳng $(P)\colon x+2y+z=0$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là
| $\begin{cases}x=1+t\\ y=2-2t\\ z=-1+t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=1-t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=1+t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=-1+t\end{cases}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(5;2;1)$ và $B(1;0;1)$. Phương trình của mặt cầu đường kính $AB$ là
| $(x+3)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=5$ |
| $(x-3)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=20$ |
| $(x-3)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=5$ |
| $(x+3)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=20$ |