Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi cho hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x+2}$, $Ox$, $x=1$ quay xung quanh trục $Ox$ là
 | $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}(x+2)\mathrm{d}x$ |
 | $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{4}\sqrt[4]{x+2}\mathrm{d}x$ |
 | $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\sqrt{x+2}\mathrm{d}x$ |
 | $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{4}(x+2)\mathrm{d}x$ |
Trong không gian, cắt vật thể bởi hai mặt phẳng $(P)\colon x=-1$ và $(Q)\colon x=2$. Biết một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($-1\leq x\leq2$) cắt theo thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $6-x$. Thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $(P),\,(Q)$ bằng
| $\dfrac{33}{2}\pi$ |
| $93\pi$ |
| $\dfrac{33}{2}$ |
| $93$ |
Cho hàm số $y=2^x$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Diện tích $S$ của hình phẳng được tô đậm trong hình bằng
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}2^x\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}2^{2x}\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}2^x\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}2^x\mathrm{\,d}x$ |
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\mathrm{e}^x$ và các đường thẳng $y=0$, $x=0$, $x=2$ bằng
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x$ |
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x$ |
Cho hình phẳng $\left(\mathscr{D}\right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, hai đường thẳng $x=1$, $x=2$ và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left(\mathscr{D}\right)$ quanh trục hoành.
| $3\pi$ |
| $\dfrac{3}{2}$ |
| $\dfrac{2\pi}{3}$ |
| $\dfrac{3\pi}{2}$ |
Cho hình phẳng \((D)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x}\), hai đường thẳng \(x=1\), \(x=2\) và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \((D)\) quanh trục hoành.
| \(3\pi\) |
| \(\dfrac{3}{2}\) |
| \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
| \(\dfrac{2\pi}{3}\) |
Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=3^x\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x=-1\), \(x=2\).
| \(S=\dfrac{26}{3}\) |
| \(S=12\) |
| \(S=\dfrac{12}{\ln3}\) |
| \(S=\dfrac{26}{3\ln3}\) |
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi ba đường \(y=\sqrt{x}\), \(y=2-x\) và \(y=0\) quanh trục \(Ox\).
| \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
| \(\dfrac{5\pi}{6}\) |
| \(\pi\) |
| \(\dfrac{2\pi}{3}\) |
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\mathrm{e}^x\), trục \(Ox\), hai đường thẳng \(x=0\), \(x=1\). Thể tích khối tròn xoay khi quay hình đó xung quanh trục hoành được cho bởi công thức
| \(\left(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x\right)^2\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\left(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x\right)^2\) |
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x-1}\), trục hoành, \(x=2\) và \(x=5\) quanh trục \(Ox\) bằng
| \(\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{2}^{5}\sqrt{x-1}\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi^2\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
Cho \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y=\sqrt{x}\), \(y=0\), \(y=2-x\). Diện tích của \((H)\) là
| \(\dfrac{4\sqrt{2}-1}{3}\) |
| \(\dfrac{8\sqrt{2}+3}{6}\) |
| \(\dfrac{7}{6}\) |
| \(\dfrac{5}{6}\) |
Cho \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình \(y=\sqrt{x}\), nửa đường tròn có phương trình \(y=\sqrt{2-x^2}\) (với \(0\leq x\leq\sqrt{2}\)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của \((H)\) bằng
| \(\dfrac{3\pi+2}{12}\) |
| \(\dfrac{4\pi+2}{12}\) |
| \(\dfrac{3\pi+1}{12}\) |
| \(\dfrac{4\pi+1}{6}\) |
Tính thể tích \(V\) của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi các đường \(y=x^2\) và \(y=\sqrt{x}\) quanh trục \(Ox\).
| \(V=\dfrac{3\pi}{10}\) |
| \(V=\dfrac{\pi}{10}\) |
| \(V=\dfrac{7\pi}{10}\) |
| \(V=\dfrac{9\pi}{10}\) |
Gọi \((H)\) là hình phẳng tạo bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x^3-x^2-2x}\) và trục hoành. Khi cho \((H)\) quay quanh trục hoành, ta được khối tròn xoay có thể tích là
| \(\dfrac{13\pi}{6}\) |
| \(\dfrac{9\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{5\pi}{12}\) |
| \(\dfrac{8\pi}{3}\) |
Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y=\mathrm{e}^x\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0\), \(x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng
| \(V=\dfrac{\mathrm{e}^2-1}{2}\) |
| \(V=\dfrac{\pi\left(\mathrm{e}^2+1\right)}{2}\) |
| \(V=\dfrac{\pi\left(\mathrm{e}^2-1\right)}{2}\) |
| \(V=\dfrac{\pi\mathrm{e}^2}{2}\) |
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=\sqrt{x}\), đường thẳng \(y=2-x\) và trục hoành (phần gạch chéo trong hình vẽ).
Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng trên khi quay quanh trục \(Ox\) bằng
| \(\dfrac{5\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{4\pi}{3}\) |
| \(\dfrac{7\pi}{6}\) |
| \(\dfrac{5\pi}{6}\) |
Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y=\sqrt{2+\cos x}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0\), \(x=\dfrac{\pi}{2}\). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành.
| \(V=\pi-1\) |
| \(V=\pi+1\) |
| \(V=\pi(\pi-1)\) |
| \(V=\pi(\pi+1)\) |
Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=4^x\), \(y=0\), \(x=1\) và \(x=3\). Thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thành khi quay \((H)\) quanh trục \(Ox\) được xác định bởi công thức
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{1}^{3}4^{2x}\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{1}^{3}4^{x+1}\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{1}^{3}4^{2x+1}\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{1}^{3}16^x\mathrm{\,d}x\) |
Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=3^x\), \(y=0\), \(x=0\) và \(x=3\). Thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thành khi quay \((H)\) quanh trục \(Ox\) được xác định bởi công thức
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{3}3^{x+1}\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{0}^{3}3^{x+1}\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{3}9^x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{0}^{3}9^x\mathrm{\,d}x\) |
Cho hàm số \(y=\pi^x\) có đồ thị \((C)\). Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi \((C)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=2\), \(x=3\). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành được tính bởi công thức
| \(V=\pi^2\displaystyle\int\limits_{2}^{3}\pi^x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi^3\displaystyle\int\limits_{2}^{3}\pi^x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{2}^{3}\pi^{2x}\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{3}^{2}\pi^{2x}\mathrm{\,d}x\) |