Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=3^x\), \(y=0\), \(x=0\) và \(x=3\). Thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thành khi quay \((H)\) quanh trục \(Ox\) được xác định bởi công thức
 | \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{3}3^{x+1}\mathrm{\,d}x\) |
 | \(V=\displaystyle\int\limits_{0}^{3}3^{x+1}\mathrm{\,d}x\) |
 | \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{3}9^x\mathrm{\,d}x\) |
 | \(V=\displaystyle\int\limits_{0}^{3}9^x\mathrm{\,d}x\) |
Cho hàm số \(y=\pi^x\) có đồ thị \((C)\). Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi \((C)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=2\), \(x=3\). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành được tính bởi công thức
| \(V=\pi^2\displaystyle\int\limits_{2}^{3}\pi^x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi^3\displaystyle\int\limits_{2}^{3}\pi^x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{2}^{3}\pi^{2x}\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{3}^{2}\pi^{2x}\mathrm{\,d}x\) |
Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $D$ xung quanh trục $Ox$ được tính theo công thức nào dưới đây?
| $V=\pi^2\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f^2(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\left(\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x\right)^2$ |
| $V=2\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_a^b f^2(x)\mathrm{\,d}x$ |
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\mathrm{e}^x\), trục \(Ox\), hai đường thẳng \(x=0\), \(x=1\). Thể tích khối tròn xoay khi quay hình đó xung quanh trục hoành được cho bởi công thức
| \(\left(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x\right)^2\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\left(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x\right)^2\) |
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x-1}\), trục hoành, \(x=2\) và \(x=5\) quanh trục \(Ox\) bằng
| \(\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{2}^{5}\sqrt{x-1}\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi^2\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol \((P)\colon y=x^2\) và đường thẳng \(d\colon y=x\) xoay quanh trục \(Ox\) bằng
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^2\mathrm{\,d}x-\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^4\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^2\mathrm{\,d}x+\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^4\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(x^2-x\right)^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(x^2-x\right)\mathrm{\,d}x\) |
Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol \((P)\colon y=x^2\) và đường thẳng \(d\colon y=2x\) quay quanh trục \(Ox\).
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(x^2-2x\right)^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}4x^2\mathrm{\,d}x-\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}x^4\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}4x^2\mathrm{\,d}x+\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}x^4\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(2x-x^2\right)\mathrm{\,d}x\) |
Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đường cong \(y=\mathrm{e}^x\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0\), \(x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành có thể tích \(V\) bằng
| \(V=\dfrac{\mathrm{e}^2-1}{2}\) |
| \(V=\dfrac{\pi\left(\mathrm{e}^2+1\right)}{2}\) |
| \(V=\dfrac{\pi\left(\mathrm{e}^2-1\right)}{2}\) |
| \(V=\dfrac{\pi\mathrm{e}^2}{2}\) |
Gọi \(V\) là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sin x\), trục \(Ox\), trục \(Oy\) và đường thẳng \(x=\dfrac{\pi}{2}\) xung quanh trục \(Ox\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| \(V=\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^2x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^2x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin x\mathrm{\,d}x\) |
Cho hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi các đường \(y=x^2+3\), \(y=0\), \(x=0\), \(x=2\). Gọi \(V\) là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay \((H)\) xung quanh trục \(Ox\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(x^2+3\right)^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(x^2+3\right)\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(x^2+3\right)^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(x^2+3\right)\mathrm{\,d}x\) |
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ ($a< b$). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành được tính theo công thức
| $V=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi^2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $V=\pi^2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{\,d}x$ |
Cho hình phẳng $A$ giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=\sqrt{x}$ và $y=\dfrac{1}{2}x$ (phần tô đậm trong hình vẽ).
Tính thể tích $V$ khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $A$ xung quanh trục $Ox$.
| $V=\dfrac{8}{3}\pi$ |
| $V=\dfrac{8}{5}\pi$ |
| $V=0,533$ |
| $V=0,53\pi$ |
Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi các đường $y=x+2$, $y=0$, $x=1$ và $x=3$. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $D$ xung quanh trục $Ox$.
| $V=\dfrac{98}{3}$ |
| $V=8\pi$ |
| $V=\dfrac{98\pi}{3}$ |
| $V=\dfrac{98\pi^2}{3}$ |
Cho hình phẳng $\mathscr{D}$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2x-x^2$ và trục $Ox$. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $\mathscr{D}$ quanh trục $Ox$ bằng
| $\dfrac{256\pi}{15}$ |
| $\dfrac{64\pi}{15}$ |
| $\dfrac{16\pi}{15}$ |
| $\dfrac{4\pi}{3}$ |
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\mathrm{e}^x$ và các đường thẳng $y=0$, $x=0$, $x=2$ bằng
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x$ |
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x$ |
Kí hiệu \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y=x^2-ax\) với trục hoành (\(a\neq0\)). Quay hình \((H)\) xung quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích \(V=\dfrac{16\pi}{15}\). Tìm \(a\).
| \(a=-2\) |
| \(a=-3\) |
| \(a=\pm2\) |
| \(a=2\) |
Cho hình phẳng \((D)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x}\), hai đường thẳng \(x=1\), \(x=2\) và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \((D)\) quanh trục hoành.
| \(3\pi\) |
| \(\dfrac{3}{2}\) |
| \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
| \(\dfrac{2\pi}{3}\) |
Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) thì diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a\), \(x=b\) là
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{b}^{a}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x\) |
Cho hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=2x^2+3x\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x=0,\,x=1\). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\).
| \(V=\dfrac{13}{6}\) |
| \(V=\dfrac{13\pi}{6}\) |
| \(V=\dfrac{34\pi}{5}\) |
| \(V=\dfrac{34}{5}\) |
Cho hình phẳng \(H\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x=a,\,x=b\). Thể tích \(V\) của khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(H\) quanh trục \(Ox\) là
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_a^b|f(x)|\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_a^b f^2(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_a^b f^2(x)\mathrm{\,d}x\) |