Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\displaystyle\int \limits_0^1f(x)\mathrm{\,d}x=2\), \(\displaystyle\int\limits_1^3 f(x)\mathrm{\,d}x=6\). Tính \(I=\displaystyle\int\limits_0^3 f(x)\mathrm{\,d}x\).
 | \(I=36\) |
 | \(I=4\) |
 | \(I=12\) |
 | \(I=8\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), biết \(f(1)=2017\) và \(\displaystyle\int\limits_1^2 f'(x)\mathrm{\,d}x=1\), giá trị của \(f(2)\) bằng
| \(2017\) |
| \(2019\) |
| \(2018\) |
| \(2016\) |
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[0;2\right]\) và \(f\left(0\right)=-1\), biết \(\displaystyle\int\limits_{0}^{2} f'\left(x\right)\mathrm{\,d}x = 5\). Tính \(f\left(2\right)\).
| \(f\left(2\right) = 2\) |
| \(f\left(2\right) = 6\) |
| \(f\left(2\right) = 4\) |
| \(f\left(2\right) = 5\) |
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([1;4]\), \(f(1)=15\), \(f(4)=8\). Tính \(\displaystyle\int\limits_{1}^{4}f'(x)\mathrm{\,d}x\).
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{4}f'(x)\mathrm{\,d}x = 7\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{4}f'(x)\mathrm{\,d}x = 3\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{4}f'(x)\mathrm{\,d}x = 23\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{4}f'(x)\mathrm{\,d}x=-7\) |
Giả sử các biểu thức trong dấu nguyên hàm, tích phân đều có nghĩa, trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
| \(\displaystyle\int f'(x)\mathrm{\,d}x=f(x)+C\) |
| \(\displaystyle\int kf(x)\mathrm{\,d}x=k\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x,\;\forall k\in\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^b u(x)v'(x)\mathrm{\,d}x=u(x)v(x)\bigg|_a^b-\displaystyle\int\limits_a^b u'(x)v(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^b kf(x)\mathrm{\,d}x=k\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x,\;\forall k\in \mathbb{R}\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\left[a;b\right]\). Mệnh đề nào dưới đây sai?
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x =-\displaystyle\int\limits_{b}^{a}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x)\mathrm{\,d}x =\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{\,d}x +\displaystyle\int\limits_{c}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\), \(\forall c\in\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x =\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(t)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{a}f(x)\mathrm{\,d}x =0\) |
Giả sử hàm số \(f(x),\,g(x)\) liên tục trên \(K\) và \(a,\,b,\,c\) là ba số bất kì thuộc \(K\). Khẳng định nào sau đây là sai?
| \(\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_b^cf(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^cf(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_a^bg(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^b\left( f(x)+g(x)\right)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^af(x)\mathrm{\,d}x=0\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_b^af(x)\mathrm{\,d}x\) |
Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên \([a,b]\) và \(c\in[a,b]\). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
| \(\displaystyle\int\limits_a^c f(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_b^c f(x)\mathrm{\,d}x =\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^a f(x)\mathrm{\,d}x = 0\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^c f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_c^a f(x)\mathrm{\,d}x\neq0\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_b^a f(x)\mathrm{\,d}x=0\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\). Mệnh đề nào dưới đây sai?
| \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^b f(t)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x) \mathrm{\,d}x=-\displaystyle\int\limits_b^a f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^b k\mathrm{\,d}x=k(a-b),\,\forall k\in\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x) \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^c f(x) \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_c^b f(x)\mathrm{\,d}x\), \(\forall c\in(a;b)\) |
Giả sử \(f(x)\) và \(g(x)\) là các hàm số bất kỳ liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(a,\,b,\,c\) là các số thực. Mệnh đề nào sau đây sai?
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{b}^{c}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{c}^{a}f(x)\mathrm{\,d}x=0\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}cf(x)\mathrm{\,d}x=c\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\cdot \displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left( f(x)-g(x)\right) \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng \(K\) và \(a,\,b,\,c\in K\). Mệnh đề nào sau đây sai?
| \(\displaystyle\int\limits_a^a f(x)\mathrm{\,d}x=0\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x + \displaystyle\int\limits_c^b f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^c f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^b f(t)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x= - \displaystyle\int\limits_b^a f(x)\mathrm{\,d}x\) |
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên khoảng \(K\) và các hằng số \(a,\,b,\,c\in K\). Mệnh đề nào dưới đây sai?
| \(\displaystyle\int\limits^b_a k\cdot f(x)\mathrm{\,d}x = \displaystyle k\int\limits^b_a f(x)\mathrm{\,d}x\) với \(k \in \mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\int\limits^b_a f(x)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int\limits^c_a f(x)\mathrm{\,d}x + \displaystyle \int\limits^b_c f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits^b_a f(x)\mathrm{\,d}x = \displaystyle - \int\limits^a_b f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits^b_a f(x)\mathrm{\,d}x\neq \displaystyle\int\limits^b_a f(t)\mathrm{\,d}t\) |
Cho các số thực \(a\) và \(b\) (\(a< b\)). Nếu hàm số \(f(x)\) có đạo hàm là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=f'(b)-f'(a)\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{\,d}x=f(a)-f(b)\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{\,d}x=f(b)-f(a)\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x=f'(a)-f'(b)\) |
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\). Khi đó hiệu số \(F(0)-F(1)\) bằng
| \(\displaystyle\int^1_0F(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int^1_0f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int^1_0-f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int^1_0-F(x)\mathrm{\,d}x\) |
Cho hai hàm số \(f(x),\,g(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) và số thực \(k\) tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
| \(\displaystyle\int\limits_a^b kf(x)\mathrm{\,d}x=k\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^b xf(x)\mathrm{\,d}x=x\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^b \left(f(x)+g(x)\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_a^b g(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x=-\displaystyle\int\limits_b^a f(x)\mathrm{\,d}x\) |
Cho \(f(x),\,g(x)\) là các hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây.
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x)\cdot g(x)\mathrm{\,d}x= \displaystyle\int\limits_{a}^{b} f(x)\mathrm{\,d}x \cdot\displaystyle\int\limits_{a}^{b} g(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \mathrm{\,d}x= \displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{\,d}x + \displaystyle \int\limits_{a}^{b} g(x) \mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{\,d}x = \displaystyle \int\limits_{a}^{c} f(x) \mathrm{\,d}x + \displaystyle \int\limits_{c}^{b} f(x) \mathrm{\,d}x\) \((a< c< b)\) |
| \(\displaystyle \int\limits_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \mathrm{\,d}x= \displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{\,d}x - \displaystyle \int\limits_{a}^{b} g(x) \mathrm{\,d}x\) |
Tính \(I=\displaystyle\int\limits_a^b f(x) \mathrm{\,d}x\), biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) và \(F(a)=-2\), \(F(b)=3\).
| \(I=1\) |
| \(I=-1\) |
| \(I=-5\) |
| \(I=5\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có một nguyên hàm là hàm số \(F(x)\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
| \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x=F(b)+F(a)\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x=F(b)-F(a)\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x=f(b)-f(a)\) |
| \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x=F(a)-F(b)\) |
Cho tam giác \(ABC\) có diện tích \(S\). Gọi \(M,\,N\) là hai điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CN}=-2\overrightarrow{AC}\). Tính diện tích \(\Delta AMN\) theo \(S\).
| \(2S\) |
| \(8S\) |
| \(4S\) |
| \(6S\) |
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB=9\), \(AC=12\), \(BC=15\). Khi đó, đường trung tuyến \(AM\) của tam giác có độ dài bằng bao nhiêu?
| \(9\) |
| \(10\) |
| \(7,5\) |
| \(8\) |