Chứng minh rằng $$1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n-1)^2=\dfrac{n(4n^2-1)}{3},\,\,\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2,\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2},\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) với \(u_1=3\) và công bội \(q=2\). Giá trị của \(u_2\) bằng
 | \(8\) |
 | \(9\) |
 | \(6\) |
 | \(\dfrac{3}{2}\) |
Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) với \(u_1=3\) và \(u_2=9\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
| \(6\) |
| \(3\) |
| \(12\) |
| \(-3\) |
Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt \(20000\) đồng, mỗi lần sau tiền đặt cược gấp đôi lần trước đó. Người này thua \(9\) lần liên tiếp và thắng ở lần thứ \(10\). Hỏi du khách trên thắng hay thua bao nhiêu?
| Hòa vốn |
| Thua \(20000\) đồng |
| Thắng \(20000\) đồng |
| Thua \(40000\) đồng |
Người ta thiết kế một tòa tháp gồm \(11\) tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích bề mặt trên của tầng ngay bên dưới, còn diện tích bề mặt trên của tầng một bằng nửa diện tích của đế tháp. Biết rằng diện tích đế tháp là \(12.288\text{ m}^2\), tính diện tích mặt trên của tầng trên cùng.
| \(6\text{ m}^2\) |
| \(8\text{ m}^2\) |
| \(10\text{ m}^2\) |
| \(12\text{ m}^2\) |
Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) có tổng hai số hạng đầu tiên bằng \(4\), tổng ba số hạng đầu tiên bằng \(13\). Tính tổng của năm số hạng đầu tiên của \(\left(u_n\right)\), biết rằng \(\left(u_n\right)\) có công bội dương.
| \(S_5=\dfrac{181}{16}\) |
| \(S_5=141\) |
| \(S_5=121\) |
| \(S_5=\dfrac{35}{16}\) |
Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) có tổng \(n\) số hạng đầu là \(S_n=5^n-1\). Tìm số hạng thứ \(4\) của \(\left(u_n\right)\).
| \(u_4=100\) |
| \(u_4=124\) |
| \(u_4=500\) |
| \(u_4=624\) |
Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) có \(u_1=-6\) và \(q=-2\). Biết rằng tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân đã cho bằng \(2046\), tìm \(n\).
| \(n=9\) |
| \(n=10\) |
| \(n=12\) |
| \(n=11\) |
Một cấp số nhân có \(6\) số hạng với công bội bằng \(2\) và tổng các số hạng bằng \(189\). Tìm số hạng cuối \(u_6\) của cấp số nhân đã cho.
| \(u_6=32\) |
| \(u_6=104\) |
| \(u_6=48\) |
| \(u_6=96\) |
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là \(\dfrac{1}{4},\,\dfrac{1}{2},\,1,\,\ldots,\,2048\). Tính tổng \(S\) của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho.
| \(S=2047,75\) |
| \(S=2049,75\) |
| \(S=4095,75\) |
| \(S=4096,75\) |
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là \(1,\,4,\,16,\,64,\ldots\) Gọi \(S_n\) là tổng của \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| \(S_n=4^{n-1}\) |
| \(S_n=\dfrac{n\left(1+4^{n-1}\right)}{2}\) |
| \(S_n=\dfrac{4^n-1}{3}\) |
| \(S_n=\dfrac{4\left(4^n-1\right)}{3}\) |
Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) có \(u_1=2\) và \(u_2=-8\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
| \(S_6=130\) |
| \(u_5=256\) |
| \(S_5=256\) |
| \(q=-4\) |
Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) có \(u_1=-3\) và \(q=-2\). Tính tổng \(10\) số hạng đầu tiên của \(\left(u_n\right)\).
| \(S_{10}=-511\) |
| \(S_{10}=-1025\) |
| \(S_{10}=1025\) |
| \(S_{10}=1023\) |
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) có \(u_1=2\) và \(u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n,\,n\geq1\). Tìm \(u_{100}\).
| \(u_{100}=\dfrac{2}{3^{99}}\) |
| \(u_{100}=\dfrac{2}{3^{100}}\) |
| \(u_{100}=\dfrac{4}{3^{99}}\) |
| \(u_{100}=\dfrac{4}{3^{999}}\) |
Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) có \(u_1=2\) và \(q=\dfrac{1}{3}\). Tìm \(u_{10}\).
| \(u_{10}=\dfrac{2}{3^8}\) |
| \(u_{10}=\dfrac{2}{3^{10}}\) |
| \(u_{10}=\dfrac{3}{2^9}\) |
| \(u_{10}=\dfrac{2}{3^9}\) |
Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là \(x-6,\,x,\,y\). Tìm \(y\), biết rằng công bội của cấp số nhân đó bằng \(6\).
| \(y=216\) |
| \(y=\dfrac{36}{5}\) |
| \(y=\dfrac{216}{5}\) |
| \(y=12\) |
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là \(x,\,12,\,y,\,192\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
| \(\begin{cases}x=1\\ y=144\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=2\\ y=72\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=3\\ y=48\end{cases}\) |
| \(\begin{cases}x=4\\ y=36\end{cases}\) |