Cho hàm số $$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^2}{2} &\text{khi }x\leq1\\
ax+b &\text{khi }x>1
\end{cases}$$Tìm tất cả các giá trị của \(a,\,b\) sao cho \(f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x=1\).

	\(a=1,\;b=-\dfrac{1}{2}\)
	\(a=\dfrac{1}{2},\;b=\dfrac{1}{2}\)
	\(a=\dfrac{1}{2},\;b=-\dfrac{1}{2}\)
	\(a=1,\;b=\dfrac{1}{2}\)

Cho $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\sqrt{ax^2-2x}+bx\right)=11$. Tính $Q=b-a$.

	$Q=\dfrac{17}{121}$
	$Q=\dfrac{5}{121}$
	$Q=-\dfrac{13}{121}$
	$Q=\dfrac{10}{121}$

Cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{a}-b\right)$ với $a$, $b$ là các số dương. Giá trị của biểu thức $T=a+b$ là

	$10$
	$7$
	$6$
	$8$

Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\mathrm{\,d}x=a+b\sqrt{2}$ với $a,\,b\in\mathbb{Q}$. Khi đó $a-b$ bằng

	$4$
	$-4$
	$1$
	$-1$

Cho hàm số $y=\begin{cases}x^2+ax+b&\text{khi }x\ge2\\ x^3-x^2-8x+10&\text{khi }x<2\end{cases}$. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm $x=2$. Giá trị của $a^2+b^2$ bằng

	$20$
	$17$
	$18$
	$25$

Cho hàm số $f\left(x\right)=\begin{cases}ax^2+bx+1&\text{khi }x\ge0\\ ax-b-1&\text{khi }x<0\end{cases}$. Khi hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm tại $x_0=0$, hãy tính $T=a+2b$.

	$T=-4$
	$T=0$
	$T=-6$
	$T=4$

Tính giới hạn \(\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x^5+1}{x^3+1}\).

	\(-\dfrac{3}{5}\)
	\(\dfrac{3}{5}\)
	\(-\dfrac{5}{3}\)
	\(\dfrac{5}{3}\)

Tính giới hạn \(\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^3-8}{x^2-4}\).

	\(0\)
	\(+\infty\)
	\(3\)
	Không xác định

Cho hàm số $$f(x)=\begin{cases}
mx^2+2x+2 &\text{khi }x>0\\
nx+1 &\text{khi }x\leq0
\end{cases}$$Tìm tất cả các giá trị của \(m\) và \(n\) sao cho \(f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x=0\).

	Không tồn tại
	\(m=2,\;n\in\mathbb{R}\)
	\(n=2,\;m\in\mathbb{R}\)
	\(m=n=2\)

Biết \(\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{a}-b\right)\) với \(a,\,b\) là các số nguyên dương. Tính \(T=a+b\).

	\(T=7\)
	\(T=10\)
	\(T=6\)
	\(T=8\)

Biết rằng \(\lim\dfrac{n+\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n^2-n-2}}=a\cdot\sin\dfrac{\pi}{4}+b\), với \(a,\,b\in\mathbb{Z}\). Tính \(S=a^3+b^3\).

	\(S=1\)
	\(S=8\)
	\(S=0\)
	\(S=-1\)

Biết rằng khi $m=m_0$ thì $\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x^2+mx+2}{x-2}=1$. Số $m_0$ thuộc khoảng nào sau đây?

	$(-2;0)$
	$(0;2)$
	$(-4;-2)$
	$(2;4)$

Biết rằng $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{5}\dfrac{3}{x^2+3x}\mathrm{d}x=a\ln5+b\ln2$ $\left(a,\,b\in\mathbb{Z}\right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

	$a+2b=0$
	$2a-b=0$
	$a-b=0$
	$a+b=0$

Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^1\left(\dfrac{9}{x-3}-\dfrac{7}{x-2}\right)\mathrm{\,d}x=a\ln{3}-b\ln{2}$. Tính giá trị $P=a^2+b^2$.

	$P=32$
	$P=130$
	$P=2$
	$P=16$

Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1x\sqrt{x^2+4}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{a}\left(\sqrt{b^3}-c\right)$. Tính $Q=abc$.

	$Q=120$
	$Q=15$
	$Q=-120$
	$Q=40$

Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}(3x-1)\mathrm{e}^{\tfrac{x}{2}}\mathrm{\,d}x=a+b\mathrm{e}$ với $a,\,b$ là các số nguyên. Giá trị của $a+b$ bằng

	$12$
	$16$
	$6$
	$10$

Cho hàm số $y=x^4-4x^2+m$. Tìm $m$ để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần phía dưới trục hoành. Khi đó $m=\dfrac{a}{b}$ với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+2b$.

	$37$
	$38$
	$0$
	$29$

Biết rằng đồ thị hàm số $y=ax+b$ đi qua điểm $M\left(1;4\right)$ và song song với đường thẳng $y=2x+1$. Tính tổng $S=a+b$.

	$S=4$
	$S=2$
	$S=0$
	$S=-4$

Đạo hàm của hàm số \(y=\dfrac{-x^2+3x-3}{2(x-1)}\) là biểu thức có dạng \(\dfrac{ax^2+bx}{2(x-1)^2}\). Khi đó, tích \(a\cdot b\) bằng

	\(-1\)
	\(6\)
	\(4\)
	\(-2\)

Giới hạn nào sau đây tồn tại tại \(x_0=-\dfrac{1}{2}\)?

	\(\lim\limits_{x\to-\tfrac{1}{2}}\dfrac{|2x+1|}{2x+1}\)
	\(\lim\limits_{x\to-\tfrac{1}{2}}\dfrac{2x+1}{|2x+1|}\)
	\(\lim\limits_{x\to-\tfrac{1}{2}}f(x)\) với \(f(x)=\begin{cases}13x+4 &\text{khi }x\leq-\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{2x^2-3x-2}{2x+1} &\text{khi }x>-\dfrac{1}{2}\end{cases}\)
	\(\lim\limits_{x\to-\tfrac{1}{2}}f(x)\) với \(f(x)=\begin{cases}13x+4 &\text{khi }x\leq-\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{2x^2+7x+3}{2x+1} &\text{khi }x>-\dfrac{1}{2}\end{cases}\)