Cho hàm số $$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^2}{2} &\text{khi }x\leq1\\
ax+b &\text{khi }x>1
\end{cases}$$Tìm tất cả các giá trị của \(a,\,b\) sao cho \(f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x=1\).

	\(a=1,\;b=-\dfrac{1}{2}\)
	\(a=\dfrac{1}{2},\;b=\dfrac{1}{2}\)
	\(a=\dfrac{1}{2},\;b=-\dfrac{1}{2}\)
	\(a=1,\;b=\dfrac{1}{2}\)

Cho hàm số $$f(x)=\begin{cases}
x^2-1 &\text{khi }x\geq0\\
-x^2 &\text{khi }x<0
\end{cases}$$Khẳng định nào sau đây sai?

	Hàm số không liên tục tại \(x=0\)
	Hàm số có đạo hàm tại \(x=2\)
	Hàm số liên tục tại \(x=2\)
	Hàm số có đạo hàm tại \(x=0\)

Cho hàm số $y=\begin{cases}x^2+ax+b&\text{khi }x\ge2\\ x^3-x^2-8x+10&\text{khi }x<2\end{cases}$. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm $x=2$. Giá trị của $a^2+b^2$ bằng

	$20$
	$17$
	$18$
	$25$

Cho hàm số $f\left(x\right)=\begin{cases}ax^2+bx+1&\text{khi }x\ge0\\ ax-b-1&\text{khi }x<0\end{cases}$. Khi hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm tại $x_0=0$, hãy tính $T=a+2b$.

	$T=-4$
	$T=0$
	$T=-6$
	$T=4$

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\) bởi $$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^3-4x^2+3x}{x^2-3x+2} &\text{khi }x\neq1\\
0 &\text{khi }x=1
\end{cases}$$Tính \(f'(1)\).

	\(f'(1)=\dfrac{3}{2}\)
	\(f'(1)=1\)
	\(f'(1)=0\)
	Không tồn tại

Cho hàm số $$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{x} &\text{khi }x\neq0\\
0 &\text{khi }x=0
\end{cases}$$Tính \(f'(0)\).

	\(f'(0)=0\)
	\(f'(0)=1\)
	\(f'(0)=\dfrac{1}{2}\)
	Không tồn tại

Cho hàm số $$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{3-\sqrt{4-x}}{4} &\text{khi }x\neq0\\
\dfrac{1}{4} &\text{khi }x=0
\end{cases}$$Tính \(f'(0)\).

	\(f'(0)=\dfrac{1}{4}\)
	\(f'(0)=\dfrac{1}{16}\)
	\(f'(0)=\dfrac{1}{32}\)
	Không tồn tại

Cho hàm số $f(x)=\begin{cases}4x-7\text{ khi }x\ne3\\ 2m+1\text{ khi }x=3\end{cases}$. Xác định $m$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=3$.

	$m=3$
	$m=-3$
	$m=2$
	$m=-2$

Cho hàm số $f(x)=\begin{cases}\dfrac{4x^2+3x-1}{x+1} &\text { khi }x\neq-1\\ 2m+1 &\text { khi }x=-1\end{cases}$. Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đã cho liên tục tại điểm $x=-1$?

	$m=2$
	$m=-3$
	$m=\dfrac{1}{2}$
	$m=0$

Cho hàm số $f\left(x\right)=\begin{cases}\left(x-1\right)^2&\text{khi }x\ge0 \\ -x^2&\text{khi }x<0\end{cases}$ có đạo hàm tại điểm $x_0=0$ bằng

	$f'\left(0\right)=0$
	$f'\left(0\right)=1$
	$f'\left(0\right)=-2$
	Không tồn tại

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm thỏa mãn \(f'(6)=2\). Tính giới hạn \(\lim\limits_{x\to6}\dfrac{f(x)-f(6)}{x-6}\).

	\(2\)
	\(\dfrac{1}{3}\)
	\(\dfrac{1}{2}\)
	\(12\)

Tìm giá trị của \(a\) để giới hạn \(\lim\limits_{x\to-\tfrac{1}{2}}f(x)\) với $$f(x)=\begin{cases}
13x+a &\text{khi }x\leq-\dfrac{1}{2}\\
\dfrac{2x^2+7x+3}{2x+1} &\text{khi }x>-\dfrac{1}{2}
\end{cases}$$tồn tại?

	\(a=9\)
	\(a=18\)
	\(a=-4\)
	\(a=4\)

Giới hạn nào sau đây tồn tại tại \(x_0=-\dfrac{1}{2}\)?

	\(\lim\limits_{x\to-\tfrac{1}{2}}\dfrac{|2x+1|}{2x+1}\)
	\(\lim\limits_{x\to-\tfrac{1}{2}}\dfrac{2x+1}{|2x+1|}\)
	\(\lim\limits_{x\to-\tfrac{1}{2}}f(x)\) với \(f(x)=\begin{cases}13x+4 &\text{khi }x\leq-\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{2x^2-3x-2}{2x+1} &\text{khi }x>-\dfrac{1}{2}\end{cases}\)
	\(\lim\limits_{x\to-\tfrac{1}{2}}f(x)\) với \(f(x)=\begin{cases}13x+4 &\text{khi }x\leq-\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{2x^2+7x+3}{2x+1} &\text{khi }x>-\dfrac{1}{2}\end{cases}\)

Giới hạn của hàm số $$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^2-4x+3}{|x-3|} &\text{khi }x< 3\\ |3x-11| &\text{khi }x\geq3
\end{cases}$$tại \(x_0=3\) bằng

	\(-2\)
	\(2\)
	\(3\)
	Không tồn tại

Giới hạn của hàm số $$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^2-4x+3}{|x-3|} &\text{khi }x>3 \\
|3x-11| &\text{khi }x\leq3
\end{cases}$$tại \(x_0=3\) bằng

	\(-2\)
	\(2\)
	\(3\)
	Không tồn tại

Giới hạn của hàm số $$f(x)=\begin{cases}
2x+5 &\text{khi }x\geq4\\
\dfrac{x^2-16}{x-4} &\text{khi }x<4
\end{cases}$$tại \(x_0=4\) bằng

	\(13\)
	\(8\)
	\(4\)
	Không tồn tại

Giới hạn của hàm số $$f(x)=\begin{cases}
x^2+x+1 &\text{khi }x\leq1\\
x^2-4 &\text{khi }x>1
\end{cases}$$tại \(x_0=1\) bằng

	\(1\)
	\(-3\)
	\(3\)
	Không tồn tại

Giới hạn của hàm số $$f(x)=\begin{cases}
x^2+x+1 &\text{khi }x\leq1\\
5x^2-2 &\text{khi }x>1
\end{cases}$$tại \(x_0=1\) bằng

	\(1\)
	\(-3\)
	\(3\)
	Không tồn tại

Hàm số \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{1-3x+x^2}-\sqrt{1+x}}{x} &\text{khi }x\neq0\\
m &\text{khi }x=0\end{cases}\) liên tục tại \(x_0=0\) khi

	\(m=4\)
	\(m=-1\)
	\(m=3\)
	\(m=-2\)

Biết rằng \(\lim\limits_{x\to-\sqrt{3}}\dfrac{2x^3+6\sqrt{3}}{3-x^2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{b}\) (\(a,\,b\in\mathbb{Z}\)). Tính \(a^2+b^2\).

	\(10\)
	\(25\)
	\(5\)
	\(13\)