Cho hàm số $$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^2}{2} &\text{khi }x\leq1\\
ax+b &\text{khi }x>1
\end{cases}$$Tìm tất cả các giá trị của \(a,\,b\) sao cho \(f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x=1\).
 | \(a=1,\;b=-\dfrac{1}{2}\) |
 | \(a=\dfrac{1}{2},\;b=\dfrac{1}{2}\) |
 | \(a=\dfrac{1}{2},\;b=-\dfrac{1}{2}\) |
 | \(a=1,\;b=\dfrac{1}{2}\) |
Cho hàm số $$f(x)=\begin{cases}
mx^2+2x+2 &\text{khi }x>0\\
nx+1 &\text{khi }x\leq0
\end{cases}$$Tìm tất cả các giá trị của \(m\) và \(n\) sao cho \(f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x=0\).
| Không tồn tại |
| \(m=2,\;n\in\mathbb{R}\) |
| \(n=2,\;m\in\mathbb{R}\) |
| \(m=n=2\) |
Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\) bởi $$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{x^3-4x^2+3x}{x^2-3x+2} &\text{khi }x\neq1\\
0 &\text{khi }x=1
\end{cases}$$Tính \(f'(1)\).
| \(f'(1)=\dfrac{3}{2}\) |
| \(f'(1)=1\) |
| \(f'(1)=0\) |
| Không tồn tại |
Cho hàm số $$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{x} &\text{khi }x\neq0\\
0 &\text{khi }x=0
\end{cases}$$Tính \(f'(0)\).
| \(f'(0)=0\) |
| \(f'(0)=1\) |
| \(f'(0)=\dfrac{1}{2}\) |
| Không tồn tại |
Cho hàm số $$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{3-\sqrt{4-x}}{4} &\text{khi }x\neq0\\
\dfrac{1}{4} &\text{khi }x=0
\end{cases}$$Tính \(f'(0)\).
| \(f'(0)=\dfrac{1}{4}\) |
| \(f'(0)=\dfrac{1}{16}\) |
| \(f'(0)=\dfrac{1}{32}\) |
| Không tồn tại |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\left(a;b\right)$, $x_0\in\left(a;b\right)$. Đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $x_0$ là
| $f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{\Delta y\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ |
| $f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ |
| $f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ |
| $f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\Delta x}{\Delta y}$ |
Cho hàm số $y=\begin{cases}x^2+ax+b&\text{khi }x\ge2\\ x^3-x^2-8x+10&\text{khi }x<2\end{cases}$. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm $x=2$. Giá trị của $a^2+b^2$ bằng
| $20$ |
| $17$ |
| $18$ |
| $25$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)=\begin{cases}ax^2+bx+1&\text{khi }x\ge0\\ ax-b-1&\text{khi }x<0\end{cases}$. Khi hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm tại $x_0=0$, hãy tính $T=a+2b$.
| $T=-4$ |
| $T=0$ |
| $T=-6$ |
| $T=4$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm tại điểm $x_0=2$. Tính $$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{2f\left(x\right)-xf\left(2\right)}{x-2}.$$
| $0$ |
| $f'\left(2\right)$ |
| $2f'\left(2\right)-f\left(2\right)$ |
| $f\left(2\right)-2f'\left(2\right)$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\lim\limits_{x\to3}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(3\right)}{x-3}=2$. Kết quả đúng là
| $f'\left(2\right)=3$ |
| $f'\left(x\right)=2$ |
| $f'\left(x\right)=3$ |
| $f'\left(3\right)=2$ |
Cho hàm số $$f(x)=\begin{cases}
x^2-1 &\text{khi }x\geq0\\
-x^2 &\text{khi }x<0
\end{cases}$$Khẳng định nào sau đây sai?
| Hàm số không liên tục tại \(x=0\) |
| Hàm số có đạo hàm tại \(x=2\) |
| Hàm số liên tục tại \(x=2\) |
| Hàm số có đạo hàm tại \(x=0\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) là \(f'\left(x_0\right)\). Mệnh đề nào sau đây sai?
| \(f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\) |
| \(f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\) |
| \(f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}\) |
| \(f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f\left(x+x_0\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\) |
Cho hàm số $f(x)=\ln\big(x^2+1\big)$. Giá trị $f'(2)$ bằng
| $\dfrac{4}{5}$ |
| $\dfrac{4}{3\ln2}$ |
| $\dfrac{4}{2\ln5}$ |
| $2$ |
$\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{3x}$ bằng
| $0$ |
| $1$ |
| $3$ |
| $\dfrac{1}{3}$ |
Cho $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=5$, $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=-5$. Chọn khẳng định đúng.
| $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\pm5$ |
| $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=5$ |
| $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=-5$ |
| Không tồn tại $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{f(x)-3}{x^2-x}=2$. Tính $T=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{f^2(x)+f(x)-12}{x^2+6x-7}$.
| $P=\dfrac{9}{4}$ |
| $P=\dfrac{13}{4}$ |
| $T=\dfrac{5}{4}$ |
| $T=\dfrac{7}{4}$ |
Tính giới hạn $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{4x+7}{2x-3}$.
| $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{4x+7}{2x-3}=\dfrac{11}{2}$ |
| $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{4x+7}{2x-3}=-\dfrac{11}{2}$ |
| $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{4x+7}{2x-3}=11$ |
| $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{4x+7}{2x-3}=-11$ |
Cho $\lim\limits_{x\to2}f(x)=3$. Tính giới hạn $B=\lim\limits_{x\to2}\big(4x+5-2f(x)\big)$.
| $B=6$ |
| $B=11$ |
| $B=7$ |
| $B=0$ |
Tính các giới hạn sau:
- $\lim\limits_{x\rightarrow-2}\dfrac{x^2+3x+2}{x+2}$.
- $\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2x}{x-1}$.
Kết quả của $\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ bằng
| $+\infty$ |
| $-\infty$ |
| $0$ |
| $4$ |