Chứng minh rằng với mọi \(x\) ta đều có $$x^2+\dfrac{1}{x^2+1}\geq1$$
Chứng minh rằng nếu \(|a|\leq1,\,|b|\leq1\) thì $$|a+b|\leq|1+ab|$$
Cho \(a+b\geq0\). Chứng minh rằng $$\dfrac{a+b}{2}\leq\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$$
Chứng minh rằng $$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$$
Chứng minh rằng $$1+3+6+\cdots+\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6},\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$2+5+8+\cdots+(3n-1)=\dfrac{n(3n+1)}{2},\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n-1)^2=\dfrac{n(4n^2-1)}{3},\,\,\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2,\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2},\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Cho tứ diện $ABCD$ và điểm $M$ thuộc miền trong của tam giác $ACD$. Gọi $I,\,J$ lần lượt là hai điểm trên cạnh $BC$ và $BD$ sao cho $IJ$ không song song với $CD$. Gọi $H$ là giao điểm của $IJ$ với $CD$, $K$ là giao điểm của $MH$ với $AC$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(IJM)$ là
 | $KI$ |
 | $KJ$ |
 | $MI$ |
 | $MH$ |
Cho $4$ điểm không đồng phẳng $A,\,B,\,C,\,D$. Gọi $I,\,K$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Giao tuyến của $(IBC)$ và $(KAD)$ là
| $IK$ |
| $BC$ |
| $AK$ |
| $DK$ |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm $AD$ và $BC$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SMN)$ và $(SAC)$ là
| $SD$ |
| $SO$ ($O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$) |
| $SG$ ($G$ là trung điểm cạnh $AB$) |
| $SF$ ($F$ là trung điểm cạnh $CD$) |
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(GAB)$ là
| $AM$ ($M$ là trung điểm của $AB$) |
| $AN$ ($N$ là trung điểm của $CD$) |
| $AH$ ($H$ là hình chiếu của $B$ trên $CD$) |
| $AK$ ($K$ là hình chiếu của $C$ trên $BD$) |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD$ ($AB\parallel CD$). Khẳng định nào sau đây sai?
| $S.ABCD$ có $4$ mặt bên |
| Giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SO$, với $O=AC\cap BD$ |
| Giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là $SI$, với $I=AD\cap BC$ |
| Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SAD)$ là $BD$ |
Thiết diện của một tứ diện có thể là
| Tam giác |
| Tứ giác |
| Tam giác hoặc tứ giác |
| Ngũ giác |
Trong các mệnh đề sau, đâu là mệnh đề sai?
| Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa |
| Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất |
| Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất |
| Nếu hai mặt phẳng cùng đi qua ba điểm $A,\,B,\,C$ không thẳng hàng thì trùng nhau |
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
| Ba điểm phân biệt |
| Một điểm và một đường thẳng |
| Hai đường thẳng cắt nhau |
| Bốn điểm phân biệt |
Cho $5$ điểm $A,\,B,\,C,\,D,\,E$ trong đó không có $4$ điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi $3$ trong $5$ điểm đã cho?
| $10$ |
| $12$ |
| $8$ |
| $14$ |
Trong mặt phẳng $(\alpha)$, cho bốn điểm $A,\,B,\,C,\,D$ trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$. Có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi $S$ và $2$ trong $4$ điểm nói trên?
| $4$ |
| $5$ |
| $6$ |
| $8$ |