Bằng cách đổi biến số $t=1+\ln x$ thì tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^\mathrm{e}\dfrac{(1+\ln x)^2}{x}\mathrm{\,d}x$ trở thành
 | $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^\mathrm{e}t^2\mathrm{\,d}t$ |
 | $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^2t^2\mathrm{\,d}t$ |
 | $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4t^2\mathrm{\,d}t$ |
 | $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^2(1+t)^2\mathrm{\,d}t$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1x\sqrt{x^2+4}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{a}\left(\sqrt{b^3}-c\right)$. Tính $Q=abc$.
| $Q=120$ |
| $Q=15$ |
| $Q=-120$ |
| $Q=40$ |
Tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{a}\dfrac{x^3+x}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{\,d}x$.
| $I=\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}+1$ |
| $I=\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}-1$ |
| $I=\dfrac{1}{3}\left[\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}-1\right]$ |
| $I=\dfrac{1}{3}\left[\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}+1\right]$ |
Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}\dfrac{\sqrt{2+\ln x}}{2x}\mathrm{\,d}x\).
| \(\dfrac{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{3}\) |
| \(\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}\) |
| \(\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3}\) |
| \(\dfrac{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{3}\) |
Hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \([1;4]\) và thỏa mãn \(f(x)=\dfrac{f\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{\ln x}{x}\). Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{3}^{4}f(x)\mathrm{\,d}x\).
| \(I=3+2\ln^22\) |
| \(I=\ln^2\) |
| \(I=2\ln2\) |
| \(I=2\ln^22\) |
Cho \(I=\displaystyle\int\limits_0^4x\sqrt{1+2x}\mathrm{\,d}x\) và \(u=\sqrt{2x+1}\). Mệnh đề nào sau đây sai?
| \(I=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u^5}{5}-\dfrac{u^3}{3}\right)\bigg|_1^3\) |
| \(I=\displaystyle\int\limits_1^3u^2\left(u^2-1\right)\mathrm{\,d}u\) |
| \(I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_1^3x^2\left(x^2-1\right)\mathrm{\,d}x\) |
| \(I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_1^3u^2\left(u^2-1\right)\mathrm{\,d}u\) |
Cho tích phân \(I=\displaystyle\int_0^4x\sqrt{x^2+9}\mathrm{\,d}x\). Khi đặt \(t=\sqrt{x^2+9}\) thì tích phân đã cho trở thành
| \(I=\displaystyle\int_3^5t\mathrm{\,d}t\) |
| \(I=\displaystyle\int_0^4t\mathrm{\,d}t\) |
| \(I=\displaystyle\int_0^4t^2\mathrm{\,d}t\) |
| \(I=\displaystyle\int_3^5t^2\mathrm{\,d}t\) |
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x-1}\), trục hoành, \(x=2\) và \(x=5\) quanh trục \(Ox\) bằng
| \(\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{2}^{5}\sqrt{x-1}\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi^2\displaystyle\int\limits_{2}^{5}(x-1)\mathrm{\,d}x\) |
Cho tích phân \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x}}\mathrm{\,d}x\) và đặt \(t=\sqrt{1+x}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(t^2-1\right)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(2t^2+2t\right)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(t^2+t\right)\mathrm{\,d}t\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(2t^2-2t\right)\mathrm{\,d}t\) |
Nếu \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x}}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(t)\mathrm{\,d}t\), với \(t=\sqrt{1+x}\) thì \(f(t)\) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
| \(f(t)=t^2-1\) |
| \(f(t)=2t^2+2t\) |
| \(f(t)=t^2+t\) |
| \(f(t)=2t^2-2t\) |
Cho \(I=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}x\sqrt{4-x^2}\mathrm{\,d}x\) và \(t=\sqrt{4-x^2}\). Khẳng định nào sau đây sai?
| \(I=\sqrt{3}\) |
| \(I=\dfrac{t^2}{2}\bigg|_0^{\sqrt{3}}\) |
| \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}t^2\mathrm{\,d}t\) |
| \(I=\dfrac{t^3}{3}\bigg|_0^{\sqrt{3}}\) |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x=-3$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{5}^{-1}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $5$ |
| $6$ |
| $4$ |
| $3$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\mathrm{\,d}x=4$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^23f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $36$ |
| $12$ |
| $3$ |
| $4$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4f(x)\mathrm{\,d}x=3$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4g(x)\mathrm{\,d}x=-2$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^4[f(x)-g(x)]\mathrm{\,d}x$ bằng
| $-1$ |
| $-5$ |
| $5$ |
| $1$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f\left(2\right)=25$ và $f'\left(x\right)=4x\sqrt{f\left(x\right)}$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^3f\left(x\right)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\dfrac{1073}{15}$ |
| $\dfrac{458}{15}$ |
| $\dfrac{838}{15}$ |
| $\dfrac{1016}{15}$ |
Xét tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^{\rm{e}^2}\dfrac{\left(1+2\ln x\right)^2}{x}\mathrm{\,d}x$, nếu đặt $t=1+2\ln{x}$ thì $I$ bằng
| $\dfrac{1}{2}\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^{e^2}t^2\mathrm{\,d}t$ |
| $2\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^5t^2\mathrm{\,d}t$ |
| $2\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^{e^2}t^2\mathrm{\,d}t$ |
| $\dfrac{1}{2}\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^5t^2\mathrm{\,d}t$ |
Cho tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1} x(1-x)^{2021}\mathrm{d}x$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}t^{2021}(1-t)\mathrm{d}t$ |
| $I=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}\left(t^{2022}-t^{2021}\right)\mathrm{d}t$ |
| $I=-\displaystyle\int\limits_{0}^{1} t^{2021}(1-t)\mathrm{d}t$ |
| $I=-\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}\left(t^{2022}-t^{2021}\right)\mathrm{d}t$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=2$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^2f(3x+1)\mathrm{d}x=6$. Tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{7}f(x)\mathrm{d}x$.
| $I=20$ |
| $I=8$ |
| $I=18$ |
| $I=16$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{4}^{9}f(x)\mathrm{d}x=10$. Tính tích phân $J=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(5x+4)\mathrm{d}x$.
| $J=2$ |
| $J=10$ |
| $J=50$ |
| $J=4$ |
Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi cho hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x+2}$, $Ox$, $x=1$ quay xung quanh trục $Ox$ là
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}(x+2)\mathrm{d}x$ |
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{4}\sqrt[4]{x+2}\mathrm{d}x$ |
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\sqrt{x+2}\mathrm{d}x$ |
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{4}(x+2)\mathrm{d}x$ |