Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ thỏa mãn $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x-1}$, $f(3)=2021$. Tính $f(5)$.
$f(5)=2020-\dfrac{1}{2}\ln2$ | |
$f(5)=2021-\ln2$ | |
$f(5)=2021+\ln2$ | |
$f(5)=2020+\ln2$ |
Biết rằng \(\displaystyle\int\limits_{1}^{5}\dfrac{1}{2x-1}\mathrm{\,d}x=\ln a\). Giá trị của \(a\) là
\(81\) | |
\(27\) | |
\(3\) | |
\(9\) |
Biết \(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\dfrac{1}{x-1}\) và \(F(2)=1\). Khi đó \(F(3)\) bằng bao nhiêu?
\(\ln\dfrac{3}{2}\) | |
\(\ln2+1\) | |
\(\ln2\) | |
\(\dfrac{1}{2}\) |
Biết \(\displaystyle\int\limits_1^2{\dfrac{\mathrm{\,d}x}{4x^2-4x+1}}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) thì \(a,\,b\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?
\(x^2-5x+6=0\) | |
\(x^2+4x-12=0\) | |
\(2x^2-x-1=0\) | |
\(x^2-9=0\) |
Tích phân \(\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{\mathrm{\,d}x}{2x+1}\) bằng
\(\log\dfrac{5}{3}\) | |
\(\dfrac{2}{15}\) | |
\(\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{5}{3}\) | |
\(\dfrac{16}{225}\) |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $2F(3)+G(3)=9+2F(-1)+G(-1)$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2\big(x^2+f(3-2x)\big)\mathrm{\,d}x$ bằng
$\dfrac{25}{6}$ | |
$\dfrac{7}{6}$ | |
$\dfrac{43}{6}$ | |
$3$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f\left(2\right)=25$ và $f'\left(x\right)=4x\sqrt{f\left(x\right)}$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_2^3f\left(x\right)\mathrm{\,d}x$ bằng
$\dfrac{1073}{15}$ | |
$\dfrac{458}{15}$ | |
$\dfrac{838}{15}$ | |
$\dfrac{1016}{15}$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=2$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^2f(3x+1)\mathrm{d}x=6$. Tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{7}f(x)\mathrm{d}x$.
$I=20$ | |
$I=8$ | |
$I=18$ | |
$I=16$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{4}^{9}f(x)\mathrm{d}x=10$. Tính tích phân $J=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(5x+4)\mathrm{d}x$.
$J=2$ | |
$J=10$ | |
$J=50$ | |
$J=4$ |
Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{10}x\mathrm{e}^{30x}\mathrm{\,d}x$ bằng
$\dfrac{1}{900}\left(299\mathrm{e}^{300}+1\right)$ | |
$300-900\mathrm{e}^{300}$ | |
$-300+900\mathrm{e}^{300}$ | |
$\dfrac{1}{900}\left(299\mathrm{e}^{300}-1\right)$ |
Tính tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x-3}{x+1}\mathrm{\,d}x$.
$I=2-5\ln2$ | |
$I=1-4\ln2$ | |
$I=\dfrac{7}{2}-5\ln3$ | |
$I=4\ln3-1$ |
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=-13$ và $f'(x)=15x^2-16x-1+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}xf(x)\mathrm{\,d}x$. Khi đó $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
$\dfrac{26}{3}$ | |
$-\dfrac{64}{3}$ | |
$-\dfrac{35}{4}$ | |
$\dfrac{15}{4}$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x)=3x^2-2x+3+4\displaystyle\int\limits_{0}^{1}xf\left(x^2\right)\mathrm{\,d}x$. Khi đó $\displaystyle\int\limits_{2}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
$17$ | |
$11$ | |
$14$ | |
$21$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn $f(x)=x^3+\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x^3f\left(x^2\right)\mathrm{\,d}x$, $\forall x\in[0;1]$. Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x$.
$\dfrac{1}{4}$ | |
$\dfrac{4}{15}$ | |
$\dfrac{13}{20}$ | |
$\dfrac{23}{60}$ |
Tính tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(3x^2+\mathrm{e}^x+\dfrac{1}{x+1}\right)\mathrm{d}x$.
Tính tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x^2\cos2x\mathrm{d}x$ bằng cách đặt $\begin{cases}u=x^2\\ \mathrm{d}v=\cos2x\mathrm{d}x\end{cases}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
$I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ | |
$I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}-2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ | |
$I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}+2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ | |
$I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ |
Biết $f\left(x\right)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{9}f\left(x\right)\mathrm{d}x=9$. Khi đó tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{2}^{5}f\left(3x-6\right)\mathrm{d}x$.
$I=27$ | |
$I=24$ | |
$I=3$ | |
$I=0$ |
Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{2}{2x+1}\mathrm{d}x$ bằng
$2\ln5$ | |
$\dfrac{1}{2}\ln5$ | |
$\ln5$ | |
$4\ln5$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^3f(x)\mathrm{\,d}x=3$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^5f\left(\dfrac{x+1}{2}\right)\mathrm{\,d}x$ bằng
$\dfrac{3}{2}$ | |
$3$ | |
$\dfrac{5}{2}$ | |
$6$ |