Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\mathrm{e}^x$ và các đường thẳng $y=0$, $x=0$, $x=2$ bằng
 | $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x$ |
 | $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x$ |
 | $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x$ |
 | $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x$ |
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=x\left(x^2+1\right)^9$ là
| $\dfrac{1}{10}\left(x^2+1\right)^{10}+C$ |
| $\left(x^2+1\right)^{10}$ |
| $\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)^{10}$ |
| $\dfrac{1}{20}\left(x^2+1\right)^{10}+C$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.
Diện tích phần tô đậm bằng
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{0}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^3$ là
| $\dfrac{x^4}{4}+C$ |
| $3x^2+C$ |
| $x^4+C$ |
| $\dfrac{x^3}{3}+C$ |
Cho hình phẳng $\mathscr{D}$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{6}x$ và các đường thẳng $y=0$, $x=1$, $x=2$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\mathscr{D}$ quanh trục hoành bằng
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\sqrt{6}x\mathrm{\,d}x$ |
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}6x^2\mathrm{\,d}x$ |
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}6x^3\mathrm{\,d}x$ |
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}6x^3\mathrm{\,d}x$ |
Nếu đặt $u=2x+1$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}(2x+1)^4\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\dfrac{1}{2}\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{3}u^4\mathrm{\,d}u$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{3}u^4\mathrm{\,d}u$ |
| $\dfrac{1}{2}\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}u^4\mathrm{\,d}u$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}u^4\mathrm{\,d}u$ |
Giá trị của $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}\dfrac{1}{x}\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\mathrm{e}$ |
| $1$ |
| $-1$ |
| $\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ |
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=x^2$, $y=x$ và các đường thẳng $x=0$, $x=1$ bằng
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left|x^2-x\right|\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{0}\left|x^2-x\right|\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left|x^2+x\right|\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{0}\left|x^2+x\right|\mathrm{\,d}x$ |
Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu
| $F'(x)=f(x)$ |
| $F(x)=f'(x)$ |
| $F''(x)=f(x)$ |
| $F(x)=f''(x)$ |
Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên đoạn $[1;7]$ sao cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{7}f(x)\mathrm{\,d}x=2$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{7}g(x)\mathrm{\,d}x=-3$. Giá trị $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{7}\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{\,d}x$ bằng
| $5$ |
| $-1$ |
| $-5$ |
| $6$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}(3x-1)\mathrm{e}^{\tfrac{x}{2}}\mathrm{\,d}x=a+b\mathrm{e}$ với $a,\,b$ là các số nguyên. Giá trị của $a+b$ bằng
| $12$ |
| $16$ |
| $6$ |
| $10$ |
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2+\dfrac{3}{x}$ là
| $x^3+\ln|x|+C$ |
| $\dfrac{x^3}{3}+3\ln|x|+C$ |
| $\dfrac{x^3}{3}+\ln|x|+C$ |
| $x^3+3\ln|x|+C$ |
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=x\mathrm{e}^x$ là
| $x\mathrm{e}^x+C$ |
| $(x-1)\mathrm{e}^x+C$ |
| $(x+1)\mathrm{e}^x+C$ |
| $\dfrac{x\mathrm{e}^x}{2}+C$ |
Cho hàm số $y=x^4-4x^2+m$. Tìm $m$ để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần phía dưới trục hoành. Khi đó $m=\dfrac{a}{b}$ với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+2b$.
| $37$ |
| $38$ |
| $0$ |
| $29$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $(0;+\infty)$. Biết $f(1)=1$ và $f(x)=xf'(x)+\ln x$, $\forall x\in(0;+\infty)$. Giá trị của $f(\mathrm{e})$ bằng
| $\mathrm{e}$ |
| $\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ |
| $1$ |
| $2$ |
Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}(x+1)f'(x)\mathrm{\,d}x=10$ và $2f(1)-f(0)=2$. Tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x$.
| $I=-12$ |
| $I=8$ |
| $I=12$ |
| $I=-8$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1;4\}$ có $f'(x)=\dfrac{2x-5}{x^2-5x+4}$ thỏa mãn $f(3)=1$. Giá trị $f(2)$ bằng
| $1$ |
| $-1+3\ln2$ |
| $1+3\ln2$ |
| $1-\ln2$ |
Tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{a}\dfrac{x^3+x}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{\,d}x$.
| $I=\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}+1$ |
| $I=\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}-1$ |
| $I=\dfrac{1}{3}\left[\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}-1\right]$ |
| $I=\dfrac{1}{3}\left[\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}+1\right]$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=3x\cos(2x-5)+C$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
| $\displaystyle\displaystyle\int f(3x)\mathrm{\,d}x=9x\cos(6x-5)+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(3x)\mathrm{\,d}x=9x\cos(2x-5)+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(3x)\mathrm{\,d}x=3x\cos(2x-5)+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(3x)\mathrm{\,d}x=3x\cos(6x-5)+C$ |
Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi $t=0$ (s) chuyển động thẳng với vận tốc $v(t)=t(5-t)$ (m/s). Tìm quãng đường vật đi được khi nó dừng lại.
| $\dfrac{15}{4}$ m |
| $5$ m |
| $25$ m |
| $\dfrac{125}{6}$ m |