Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $2F(3)+G(3)=9+2F(-1)+G(-1)$. Khi đó $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^2\big(x^2+f(3-2x)\big)\mathrm{\,d}x$ bằng
 | $\dfrac{25}{6}$ |
 | $\dfrac{7}{6}$ |
 | $\dfrac{43}{6}$ |
 | $3$ |
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ thỏa mãn $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x-1}$, $f(3)=2021$. Tính $f(5)$.
| $f(5)=2020-\dfrac{1}{2}\ln2$ |
| $f(5)=2021-\ln2$ |
| $f(5)=2021+\ln2$ |
| $f(5)=2020+\ln2$ |
Một ô tô đang chạy với vận tốc \(54\) km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần đều với gia tốc \(a(t)=3t-8\) (m/s\(^2\)) trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây. Quãng đường mà ô tô đi được sau \(10\) s kể từ lúc tăng tốc là
| \(540\) m |
| \(150\) m |
| \(250\) m |
| \(246\) m |
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có \(f\left(3\right)=3\) và \(f'\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1-\sqrt{x+1}}\), \(\forall x>0\). Khi đó \(\displaystyle\int\limits_3^8f\left(x\right)\mathrm{\,d}x\) bằng
| \(7\) |
| \(\dfrac{197}{6}\) |
| \(\dfrac{29}{2}\) |
| \(\dfrac{181}{6}\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có một nguyên hàm là hàm số \(y=\dfrac{1}{2}x^2-x+1\). Giá trị của biểu thức \(\displaystyle\int\limits_1^2f\left(x^2\right)\mathrm{\,d}x\) bằng
| \(-\dfrac{4}{3}\) |
| \(\dfrac{4}{3}\) |
| \(-\dfrac{2}{3}\) |
| \(\dfrac{2}{3}\) |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x)+x f'(x)=4x^3-6x^2$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ và $y=f'(x)$ bằng
| $\dfrac{7}{12}$ |
| $\dfrac{45}{4}$ |
| $\dfrac{1}{2}$ |
| $\dfrac{71}{6}$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x=5$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}g(x)\mathrm{\,d}x=4$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\big[f(x)-g(x)\big]\mathrm{\,d}x$ bằng
| $54$ |
| $20$ |
| $9$ |
| $1$ |
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=x^5$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1$, $x=1$ bằng
| $\dfrac{3}{2}$ |
| $\dfrac{1}{3}$ |
| $7$ |
| $5$ |
Một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn $8$m và độ dài trục nhỏ $6$m. Người ta cần trồng rau trên dải đất rộng $4$m như hình vẽ.
Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng rau trên dải đất đó, biết rằng kinh phí trồng rau là $70000$ đồng/m$^2$?
| $1.607.107$ đồng |
| $803.553$ đồng |
| $267.851$ đồng |
| $2.638.938$ đồng |
Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(x^2+4x+\dfrac{4}{x^2}\right)\mathrm{\,d}x$.
Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}(2x+1)^5\mathrm{\,d}x$.
Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x(1+x)^2\mathrm{\,d}x$.
Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$. Biết rằng hàm số $g(x)=\ln f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f'(x)$ và $y=g'(x)$ thuộc khoảng nào dưới đây?
| $(5;6)$ |
| $(4;5)$ |
| $(2;3)$ |
| $(3;4)$ |
Cho hàm số $f(x)=1-\dfrac{1}{\cos^22x}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x+\tan2x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x+\dfrac{1}{2}\cot2x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x-\dfrac{1}{2}\tan2x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x+\dfrac{1}{2}\tan2x+C$ |
Cho hàm số $f(x)=\mathrm{e}^x+2x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+x^2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x-x^2+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x+2x^2+C$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=-\cos x+C$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
| $f(x)=-\sin x$ |
| $f(x)=-\cos x$ |
| $f(x)=\sin x$ |
| $f(x)=\cos x$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{5}f(x)\mathrm{\,d}x=-3$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{5}^{-1}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $5$ |
| $6$ |
| $4$ |
| $3$ |
Nếu $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x=4$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left[\dfrac{1}{2}f(x)+2\right]\mathrm{\,d}x$ bằng
| $6$ |
| $8$ |
| $4$ |
| $2$ |
Cho hàm số $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ với $a,\,b,\,c$ là các số thực. Biết hàm số $g(x)=f(x)+f'(x)+f''(x)$ có hai giá trị cực trị là $-3$ và $6$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{f(x)}{g(x)+6}$ và $y=1$ bằng
| $2\ln3$ |
| $\ln3$ |
| $\ln18$ |
| $2\ln2$ |
Cho hàm số $f(x)=\begin{cases}2x+5 &\text{khi }x\ge1\\ 3x^2+4 &\text{khi }x< 1\end{cases}$. Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0)=2$. Giá trị của $F(-1)+2F(2)$ bằng
| $27$ |
| $29$ |
| $12$ |
| $33$ |