Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f'\left(x\right)=3-5\cos x$ và $f\left(0\right)=5$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 | $f\left(x\right)=3x+5\sin x+2$ |
 | $f\left(x\right)=3x-5\sin x-5$ |
 | $f\left(x\right)=3x-5\sin x+5$ |
 | $f\left(x\right)=3x+5\sin x+5$ |
Hàm số $F\left(x\right)=\cos3x$ là nguyên hàm của hàm số
| $f\left(x\right)=\dfrac{\sin3x}{3}$ |
| $f\left(x\right)=-3\sin3x$ |
| $f\left(x\right)=3\sin 3x$ |
| $f\left(x\right)=-\sin3x$ |
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos3x$.
| $\displaystyle\displaystyle\int\cos3x\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}\sin3x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\cos3x\mathrm{d}x=\sin3x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\cos3x\mathrm{d}x=3\sin3x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\cos3x\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{3}\sin3x+C$ |
Hàm số $F\left(x\right)=4x+\dfrac{1}{x}$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
| $f\left(x\right)=4-\dfrac{1}{x^2}+C$ |
| $f\left(x\right)=4-\dfrac{1}{x^2}$ |
| $f\left(x\right)=4+\dfrac{1}{x^2}$ |
| $f\left(x\right)=2x^2+\ln|x|+C$ |
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\mathrm{e}^{3x}$ là
| $3\mathrm{e}^{x}+C$ |
| $\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{x}+C$ |
| $\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}+C$ |
| $3\mathrm{e}^{3x}+C$ |
Tất cả nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\dfrac{1}{2x+3}$ là
| $\dfrac{1}{2}\ln\left(2x+3\right)+C$ |
| $\dfrac{1}{2}\ln\left|2x+3\right|+C$ |
| $\ln \left|2x+3\right|+C$ |
| $\dfrac{1}{\ln2}\ln\left|2x+3\right|+C$ |
Nguyên hàm $\displaystyle\displaystyle\int\sin x\mathrm{d}x$ là
| $-\cos x+C$ |
| $\cos x+C$ |
| $\dfrac{1}{2}\cos2x+C$ |
| $-\cos2x+C$ |
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=3x^2+\cos x$ là
| $x^3+\cos x+C$ |
| $x^3+\sin x+C$ |
| $x^3-\cos x+C$ |
| $3x^3-\sin x+C$ |
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2x^3-9$ là
| $\dfrac{1}{2}x^4-9x+C$ |
| $4x^4-9x+C$ |
| $\dfrac{1}{4}x^4+C$ |
| $4x^3-9x+C$ |
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d\colon x+y+2=0$ và đường tròn $(\mathscr{C})\colon x^2+y^2-4x-2y=0$. Gọi $I$ là tâm của $(\mathscr{C})$, $M$ là điểm thuộc $d$. Qua $M$ kẻ tiếp tuyến $MA$ ($A$ là tiếp điểm) và một cát tuyến cắt $(\mathscr{C})$ tại hai điểm $B,C$ (điểm $B$ nằm giữa $M$ và $C$). Tìm tọa độ điểm $M$, biết rằng tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và có diện tích bằng $5$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$. Biết $AB=2a$, $BC=3a$, hai tam giác $SAB$ và $SCD$ đều. Điểm $M$ thuộc cạnh $SA$ và $SM=x$ $\left(0< x<2a \right)$. Mặt phẳng $\left(MBC\right)$ cắt $SD$ tại $N$.
a) Chứng minh tứ giác $BMNC$ là hình thang cân.
b) Tính diện tích tứ giác $BMNC$ theo $a$ và $x$.
- Tìm hệ số của $x^5$ trong khai triển của biểu thức $A=\left(x-\dfrac{1}{x^2}\right)^{11}+\left(x^2+\dfrac{1}{x}\right)^7,x\ne0$.
- Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng khi chia số đó cho $120$ được số dư là $88$ và khi chia cho $61$ được số dư là $39$.
- Tìm các số thực $a,b,c$ biết $a,b,c$ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân và $a, b+2,c+9$ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, đồng thời $a,b+2, c$ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.
- Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=1$ và $u_{n+1}=\sqrt{3u_n^2+2}$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$. Tính tổng $$S=u_1^2+u_2^2+u_3^2+\cdots+u_{2018}^2.$$
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng:
- $3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\le xyz$.
- $\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le xyz$.
- Giải phương trình $\cos2x+2\sin x-1-2\sin x\cos2x=0$.
- Giải hệ phương trình $\begin{cases}x^3+y^3=1\\ x^2y+2xy^2+y^3=2\end{cases}$.
- Giả sử hai hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=f\left(x+1\right)$ đều liên tục trên đoạn $\left[0;2\right]$ và $f\left(0\right)=f\left(2\right)$. Chứng minh phương trình $f\left(x\right)-f\left(x+1\right)=0$ luôn có nghiệm thuộc đoạn $\left[0;1\right]$.
- Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{x+1}$ có đồ thị $\left(\mathscr{C}\right)$. Tìm điểm $M$ thuộc $\left(\mathscr{C}\right)$ sao cho tiếp tuyến của $\left(\mathscr{C}\right)$ tại $M$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $60^\circ$. Tính độ dài đường cao của hình chóp đã cho.
Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c$ với $a,\,b,\,c\in\mathbb{R}$. Hãy xác định các số $a,\,b,\,c$ biết rằng $f'\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$ và đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ đi qua các điểm $\left(-1;-3\right)$ và $\left(1;-1\right)$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA\bot (ABCD)$, $AB=a$ và $SB=\sqrt{2}a$. Khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $(ABCD)$ bằng
| $a$ |
| $\sqrt{2}a$ |
| $2a$ |
| $\sqrt{3}a$ |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
| $(SAC)$ |
| $(SBD)$ |
| $(SCD)$ |
| $(SBC)$ |