Chứng minh rằng $$1+3+6+\cdots+\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6},\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$2+5+8+\cdots+(3n-1)=\dfrac{n(3n+1)}{2},\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n-1)^2=\dfrac{n(4n^2-1)}{3},\,\,\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2,\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2},\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Cho tứ diện $ABCD$ và điểm $M$ thuộc miền trong của tam giác $ACD$. Gọi $I,\,J$ lần lượt là hai điểm trên cạnh $BC$ và $BD$ sao cho $IJ$ không song song với $CD$. Gọi $H$ là giao điểm của $IJ$ với $CD$, $K$ là giao điểm của $MH$ với $AC$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(IJM)$ là
 | $KI$ |
 | $KJ$ |
 | $MI$ |
 | $MH$ |
Cho $4$ điểm không đồng phẳng $A,\,B,\,C,\,D$. Gọi $I,\,K$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Giao tuyến của $(IBC)$ và $(KAD)$ là
| $IK$ |
| $BC$ |
| $AK$ |
| $DK$ |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm $AD$ và $BC$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SMN)$ và $(SAC)$ là
| $SD$ |
| $SO$ ($O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$) |
| $SG$ ($G$ là trung điểm cạnh $AB$) |
| $SF$ ($F$ là trung điểm cạnh $CD$) |
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(GAB)$ là
| $AM$ ($M$ là trung điểm của $AB$) |
| $AN$ ($N$ là trung điểm của $CD$) |
| $AH$ ($H$ là hình chiếu của $B$ trên $CD$) |
| $AK$ ($K$ là hình chiếu của $C$ trên $BD$) |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD$ ($AB\parallel CD$). Khẳng định nào sau đây sai?
| $S.ABCD$ có $4$ mặt bên |
| Giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SO$, với $O=AC\cap BD$ |
| Giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là $SI$, với $I=AD\cap BC$ |
| Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SAD)$ là $BD$ |
Thiết diện của một tứ diện có thể là
| Tam giác |
| Tứ giác |
| Tam giác hoặc tứ giác |
| Ngũ giác |
Trong các mệnh đề sau, đâu là mệnh đề sai?
| Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa |
| Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất |
| Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất |
| Nếu hai mặt phẳng cùng đi qua ba điểm $A,\,B,\,C$ không thẳng hàng thì trùng nhau |
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
| Ba điểm phân biệt |
| Một điểm và một đường thẳng |
| Hai đường thẳng cắt nhau |
| Bốn điểm phân biệt |
Cho $5$ điểm $A,\,B,\,C,\,D,\,E$ trong đó không có $4$ điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi $3$ trong $5$ điểm đã cho?
| $10$ |
| $12$ |
| $8$ |
| $14$ |
Trong mặt phẳng $(\alpha)$, cho bốn điểm $A,\,B,\,C,\,D$ trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$. Có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi $S$ và $2$ trong $4$ điểm nói trên?
| $4$ |
| $5$ |
| $6$ |
| $8$ |
Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
| $6$ |
| $4$ |
| $3$ |
| $2$ |
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
| Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng |
| Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng |
| Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng |
| Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng |
Trền bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy; một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón sao cho đỉnh khối nón nằm trên mặt cầu (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài.
Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh).
Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.