Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(P\right)\colon2x-y-2z-4=0$ và điểm $A(-1;2;-2)$. Tính khoảng cách $\mathrm{d}$ từ $A$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$.
 | $\mathrm{d}=\dfrac{4}{3}$ |
 | $\mathrm{d}=\dfrac{8}{9}$ |
 | $\mathrm{d}=\dfrac{2}{3}$ |
 | $\mathrm{d}=\dfrac{5}{9}$ |
Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng đi qua điểm $A\left(2;-3;-2\right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;-5;1\right)$ có phương trình là
| $2x-5y+z-17=0$ |
| $2x-5y+z+17=0$ |
| $2x-5y+z-12=0$ |
| $2x-3y-2z-18=0$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(P\right)\colon x+2y-3z+3=0$. Trong các véctơ sau véctơ nào là véctơ pháp tuyến của $\left(P\right)$?
| $\overrightarrow{n}=\left(1;-2;3\right)$ |
| $\overrightarrow{n}=\left(1;2;-3\right)$ |
| $\overrightarrow{n}=\left(1;2;3\right)$ |
| $\overrightarrow{n}=\left(-1;2;3\right)$ |
Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I\left(1;-3;2\right)$ và đi qua $A\left(5;-1;4\right)$ có phương trình
| $\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(z-2\right)^2=\sqrt{24}$ |
| $\left(x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z+2\right)^2=\sqrt{24}$ |
| $\left(x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z+2\right)^2=24$ |
| $\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2+\left(z-2\right)^2=24$ |
Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt cầu tâm $I\left(1;2; 3\right)$ và bán kính $R=3$ là
| $x^2+y^2+z^2+2x+4y+6z+5=0$ |
| $\left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z+3\right)^2=9$ |
| $\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=9$ |
| $\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=3$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(-1;2;3\right)$, $B\left(1;0;2\right)$. Tìm điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{AB}=2\cdot\overrightarrow{MA}$?
| $M\left(-2;3;\dfrac{7}{2}\right)$ |
| $M\left(-2;3;7\right)$ |
| $M\left(-4;6;7\right)$ |
| $M\left(-2;-3;\dfrac{7}{2}\right)$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(1;2;-4\right)$ và $B\left(-3;2;2\right)$. Toạ độ của $\overrightarrow{AB}$ là
| $\left(-2;4;-2\right)$ |
| $\left(-4;0;6\right)$ |
| $\left(4;0;-6\right)$ |
| $\left(-1;2;-1\right)$ |
Trong không gian $Oxyz$, các véctơ đơn vị trên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt là $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$, cho điểm $M\left(2;-1; 1\right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
| $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{k}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{i}$ |
| $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{k}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{i}$ |
| $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ |
| $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ |
Trong không gian $Oxyz$ cho ba điểm $M(2;1;4)$, $N(5;0;0)$ và $P(1;-3;1)$. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu qua ba điểm $M,\,N,\,P$ và tiếp xúc với mặt phẳng $Oyz$?
| $0$ |
| $1$ |
| $2$ |
| $4$ |
Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(1;2;-3)$, $M(-2;-2;1)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z}{-1}$. Phương trình đường thẳng $d'$ đi qua $M$ và vuông góc với $d$ sao cho khoảng cách từ điểm $A$ đến $d'$ nhỏ nhất là
| $\begin{cases}x=-2+t\\ y=-2\\ z=1+t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=-2\\ y=-2+t\\ z=1+2t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=-2+t\\ y=-2-t\\ z=1\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=-2+t\\ y=-2\\ z=1+2t\end{cases}$ |
Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $x+\sqrt{2}y-z+3=0$ cắt mặt cầu $x^2+y^2+z^2=5$ theo giao tuyến là một đường tròn. Chu vi đường tròn đó bằng
| $\pi\sqrt{11}$ |
| $3\pi$ |
| $\pi\sqrt{15}$ |
| $\pi\sqrt{7}$ |
Trong không gian $Oxyz$, biết đường thẳng $(d)\colon\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{2}$ cắt mặt phẳng $(P)\colon x-y+2z+3=0$ tại điểm $M(a;b;c)$. Giá trị $P=a+b+c$ bằng
| $5$ |
| $-2$ |
| $-5$ |
| $0$ |
Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng chứa trục $Oy$ và qua điểm $A(1;4;-3)$ là
| $3x+z=0$ |
| $3x+y=0$ |
| $x+3z=0$ |
| $3x-z=0$ |
Trong không gian $Oxyz$ cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có phương trình các mặt phẳng $(ABC)$ và $\left(A'B'C'\right)$ lần lượt là $x-2y+z+2=0$ và $x-2y+z+4=0$. Biết tam giác $ABC$ có diện tích bằng $6$. Thể tích của khối lăng trụ đó bằng
| $6\sqrt{6}$ |
| $2\sqrt{6}$ |
| $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ |
| $\dfrac{4\sqrt{6}}{3}$ |
Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $P(2;-3;1)$. Gọi $A$, $B$, $C$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $P$ trên ba trục tọa độ $Ox$, $Oy$ và $Oz$. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A$, $B$, $C$ là
| $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{1}=1$ |
| $2x-3y+z=1$ |
| $3x-2y+6z=1$ |
| $3x-2y+6z-6=0$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\left(d_1\right)\colon\begin{cases} x=1+2t\\ y=2+3t\\ z=3+4t \end{cases}$ ($t\in\mathbb{R}$) và $\left(d_2\right)\colon\dfrac{x-3}{4}=\dfrac{y-5}{6}=\dfrac{z-7}{8}$. Khẳng định nào đúng?
| $\left(d_1\right)\parallel\left(d_2\right)$ |
| $\left(d_1\right)\equiv(\left(d_2\right)$ |
| $\left(d_1\right)\perp\left(d_2\right)$ |
| $\left(d_1\right),\,\left(d_2\right)$ chéo nhau |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;2;-1)$, $B(-4;2;-9)$. Phương trình mặt cầu có đường kính $AB$ là
| $(x+3)^2+y^2+(z+4)^2=5$ |
| $(x+1)^2+(y-2)^2+(z+5)^2=25$ |
| $(x+2)^2+(y-4)^2+(z+10)^2=25$ |
| $(x+1)^2+(y-2)^2+(z+5)^2=5$ |
Trong không gian $Oxyz$, biết đường thẳng $(d)\colon\begin{cases} x=1+t\\ y=a-2t\\ z=bt \end{cases}$ $(t\in\mathbb{R})$ nằm trong mặt phẳng $(P)\colon x+y-z-2=0$. Tổng $a+b$ có giá trị là
| $-3$ |
| $-1$ |
| $1$ |
| $0$ |
Trong không gian $Oxyz$, phương trình chính tắc của đường thẳng $(d)\colon\begin{cases}x=1-2t\\ y=3t\\ z=2+t\end{cases}$ là
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+2}{2}$ |
| $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-2}{2}$ |
| $\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-2}{1}$ |
| $\dfrac{x+1}{-2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+2}{1}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $OABC.O'A'B'C'$ có ba đỉnh $A,\,C,\,O'$ lần lượt nằm trên ba tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ và có ba cạnh $OA=6$, $OC=8$, $OO'=5$ (tham khảo hình minh họa).
Điểm $B'$ có tọa độ là
| $(8;6;5)$ |
| $(5;6;8)$ |
| $(6;5;8)$ |
| $(6;8;5)$ |