Tính thể tích $V$ của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0,\,x=\pi$. Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\,(0\leq x\leq\pi)$ là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $\sin x+2$.
 | $\dfrac{7\pi}{6}+1$ |
 | $\dfrac{9\pi}{8}+1$ |
 | $\dfrac{7\pi}{6}+2$ |
 | $\dfrac{9\pi}{8}+2$ |
Tính tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{4}}\sin x\mathrm{\,d}x$.
| $I=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
| $I=-1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
| $I=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
| $I=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
Tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{3}}\dfrac{\mathrm{d}x}{\sin^2x}$ bằng
| $\cot\dfrac{\pi}{3}-\cot\dfrac{\pi}{4}$ |
| $\cot\dfrac{\pi}{3}+\cot\dfrac{\pi}{4}$ |
| $-\cot\dfrac{\pi}{3}+\cot\dfrac{\pi}{4}$ |
| $-\cot\dfrac{\pi}{3}-\cot\dfrac{\pi}{4}$ |
Cho hàm số $f(x)=\begin{cases} x^2-1 &\text{khi }x\geq2\\ x^2-2x+3 &\text{khi }x< 2 \end{cases}$. Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}f\left(2\sin x+1\right)\cos x\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\dfrac{23}{3}$ |
| $\dfrac{23}{6}$ |
| $\dfrac{17}{6}$ |
| $\dfrac{17}{3}$ |
Tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x^2\sin x\mathrm{\,d}x\) bằng
| \(\pi^2-4\) |
| \(\pi^2+4\) |
| \(2\pi^2-3\) |
| \(2\pi^2+3\) |
Tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{4}}x\sin2x\mathrm{\,d}x\) bằng
| \(\dfrac{\pi}{2}\) |
| \(\dfrac{1}{4}\) |
| \(1\) |
| \(\dfrac{3}{4}\) |
Tích phân \(\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}x\sin x\mathrm{\,d}x\) bằng
| \(\dfrac{\pi}{2}\) |
| \(\dfrac{\pi}{2}-1\) |
| \(1\) |
| \(\pi\) |
Giá trị của tích phân \(\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{4}}x\sin x\mathrm{\,d}x\) bằng
| \(\dfrac{4+\pi}{4\sqrt{2}}\) |
| \(\dfrac{4-\pi}{4\sqrt{2}}\) |
| \(\dfrac{2-\pi}{2\sqrt{2}}\) |
| \(\dfrac{2+\pi}{2\sqrt{2}}\) |
Tính \(I=\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{3}}\sin{2x}\mathrm{\,d}x\).
| \(I=-\dfrac{1}{4}\) |
| \(I=0,019\) |
| \(I=-\dfrac{3}{4}\) |
| \(I=\dfrac{3}{4}\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\sin x+1}\mathrm{\,d}x=a\ln2+b\ln3\) (\(a,\,b\in\mathbb{Z}\)). Khi đó, giá trị của \(a\cdot b\) là
| \(2\) |
| \(-2\) |
| \(-4\) |
| \(3\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\left(\sin x\right)^2-5\sin x+6}\mathrm{\,d}x=a\ln\dfrac{4}{c}+b\), với \(a,\,b\) là các số hữu tỉ, \(c>0\). Tính tổng \(S=a+b+c\).
| \(S=3\) |
| \(S=4\) |
| \(S=0\) |
| \(S=1\) |
Gọi \(V\) là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sin x\), trục \(Ox\), trục \(Oy\) và đường thẳng \(x=\dfrac{\pi}{2}\) xung quanh trục \(Ox\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| \(V=\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^2x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin^2x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin x\mathrm{\,d}x\) |
Cho \(M\), \(N\) là các số thực, xét hàm số \(f(x)=M\sin\pi x+N\cos\pi x\) thỏa mãn \(f(1)=3\) và \(\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{1}{2}}f(x)\mathrm{\,d}x=-\dfrac{1}{\pi}\). Giá trị của \(f'\left(\dfrac{1}{4}\right)\) bằng
| \(\dfrac{5\pi\sqrt{2}}{2}\) |
| \(-\dfrac{5\pi\sqrt{2}}{2}\) |
| \(-\dfrac{\pi\sqrt{2}}{2}\) |
| \(\dfrac{\pi\sqrt{2}}{2}\) |
Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}}\left(\sin{2x}+\sin x\right)\mathrm{\,d}x\).
| \(5\) |
| \(3\) |
| \(4\) |
| \(2\) |
Đặt \(\displaystyle I=\int\limits_{\tfrac{-\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \left|\sin x\right|\mathrm{\,d}x\). Khi đó
| \(I=\dfrac{1}{2}\) |
| \(I=1\) |
| \(I=0\) |
| \(I=2\) |
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{2\sin x+3}{\sin x+1}$ trên $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ là
| $5$ |
| $2$ |
| $3$ |
| $\dfrac{5}{2}$ |
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố $X$ ở vĩ độ $40^{\circ}$ Bắc trong ngày thứ $t$ của năm 2015 được cho bởi hàm số $y=2\sin\left[\dfrac{\pi}{180}(t-70)\right]+13$ với $t\in\mathbb{Z}$ và $0< t\leq365$. Thành phố $X$ có đúng $11$ giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ bao nhiêu trong năm?
| $300$ |
| $70$ |
| $180$ |
| $340$ |
Giá trị lớn nhất $M$, giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y=\sin^2x+2\sin x+5$ là
| $M=8;\,m=5$ |
| $M=5;\,m=2$ |
| $M=8;\,m=4$ |
| $M=8;\,m=2$ |
Hàm số $y=\sin2x$ là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là
| $3\pi$ |
| $\dfrac{\pi}{2}$ |
| $2\pi$ |
| $\pi$ |