Tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(x^2+\dfrac{x}{x+1}\right)\mathrm{\,d}x\) có giá trị là
 | \(I=\dfrac{10}{3}+\ln2-\ln3\) |
 | \(I=\dfrac{10}{3}+\ln2+\ln3\) |
 | \(I=\dfrac{10}{3}-\ln2+\ln3\) |
 | \(I=\dfrac{10}{3}-\ln2-\ln3\) |
Biết rằng tích phân \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}(2x+1)\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x=a+b\mathrm{e}\) với \(a,\,b\in\mathbb{Z}\). Tích \(ab\) bằng
| \(1\) |
| \(-1\) |
| \(-15\) |
| \(20\) |
Khẳng định nào sau đây đúng?
| \(\displaystyle\int\limits_{-2}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x=-\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left[f(x)+f(-x)\right]\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{-2}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x=-2\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{-2}^{2}2f(x)\mathrm{\,d}x=2\displaystyle\int\limits_{-2}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{-2}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x=2\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
Cho \(f(x)\) là hàm số chẵn trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\displaystyle\int\limits_{-3}^{0}f(x)\mathrm{\,d}x=2\). Chọn mệnh đề đúng.
| \(\displaystyle\int\limits_{-3}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x=4\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{3}^{0}f(x)\mathrm{\,d}x=2\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x=-2\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{-3}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x=2\) |
Giả sử \(\displaystyle\int\limits_{0}^{9}f(x)\mathrm{\,d}x=37\) và \(\displaystyle\int\limits_{9}^{0}g(x)\mathrm{\,d}x=16\). Khi đó, \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{9}\left[2f(x)+3g(x)\right]\mathrm{\,d}x\) bằng
| \(122\) |
| \(26\) |
| \(143\) |
| \(58\) |
Biết \(\displaystyle\int f(u)\mathrm{\,d}u=F(u)+C\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| \(\displaystyle\int f(2x-1)\mathrm{\,d}x=2F(2x-1)+C\) |
| \(\displaystyle\int f(2x-1)\mathrm{\,d}x=2F(x)-1+C\) |
| \(\displaystyle\int f(2x-1)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2}F(2x-1)+C\) |
| \(\displaystyle\int f(2x-1)\mathrm{\,d}x=F(2x-1)+C\) |
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=x\mathrm{e}^x\).
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=(x+1)\mathrm{e}^x+C\) |
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=(x-1)\mathrm{e}^x+C\) |
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x\mathrm{e}^x+C\) |
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=x^2\mathrm{e}^x+C\) |
Tìm hàm số \(F(x)\) biết \(F'(x)=\sin2x\) và \(F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1\).
| \(F(x)=\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{3}{2}\) |
| \(F(x)=2x-\pi+1\) |
| \(F(x)=-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{2}\) |
| \(F(x)=-\cos2x\) |
Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\dfrac{1}{1-x}\)?
| \(F(x)=-\dfrac{1}{4}\ln|4-4x|+3\) |
| \(F(x)=-\ln|1-x|+4\) |
| \(F(x)=\ln|1-x|+2\) |
| \(F(x)=\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2-2x+1\right)+5\) |
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=5^x\).
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=5^x\ln5+C\) |
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=5^x+C\) |
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{5^x}{\ln x}+C\) |
| \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{5^x}{\ln5}+C\) |
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(xf\left(x^3\right)+f\left(1-x^2\right)=-x^{10}+x^6-2x\), \(\forall x\in\mathbb{R}\). Khi đó \(\displaystyle\int\limits_{-1}^0f(x)\mathrm{\,d}x\) bằng
| \(-\dfrac{17}{20}\) |
| \(-\dfrac{13}{4}\) |
| \(\dfrac{17}{4}\) |
| \(-1\) |
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\cos2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\cdot\mathrm{e}^x\), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f'(x)\mathrm{e}^x\) là
| \(-\sin2x+\cos2x+C\) |
| \(-2\sin2x+\cos2x+C\) |
| \(-2\sin2x-\cos2x+C\) |
| \(2\sin2x-\cos2x+C\) |
Diện tích phần hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng
| \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}{\left(-2x^2+2x+4\right)\mathrm{\,d}x}\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}{\left(2x^2-2x-4\right)\mathrm{\,d}x}\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}{\left(-2x^2-2x+4\right)\mathrm{\,d}x}\) |
| \(\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}{\left(2x^2+2x-4\right)\mathrm{\,d}x}\) |
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có \(f\left(3\right)=3\) và \(f'\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1-\sqrt{x+1}}\), \(\forall x>0\). Khi đó \(\displaystyle\int\limits_3^8f\left(x\right)\mathrm{\,d}x\) bằng
| \(7\) |
| \(\dfrac{197}{6}\) |
| \(\dfrac{29}{2}\) |
| \(\dfrac{181}{6}\) |
Nếu \(\displaystyle\int\limits_1^2f(x)\mathrm{\,d}x=-2\) và \(\displaystyle\int\limits_2^3f(x)\mathrm{\,d}x=1\) thì \(\displaystyle\int\limits_1^3f(x)\mathrm{\,d}x\) bằng
| \(-3\) |
| \(-1\) |
| \(1\) |
| \(3\) |
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{x-1}\) trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\) là
| \(x+3\ln\left(x-1\right)+C\) |
| \(x-3\ln\left(x-1\right)+C\) |
| \(x+\dfrac{3}{\left(x-1\right)^2}+C\) |
| \(x-\dfrac{3}{\left(x-1\right)^2}+C\) |
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\cos x+6x\) là
| \(\sin x+3x^2+C\) |
| \(-\sin x+3x^2+C\) |
| \(\sin x+6x^2+C\) |
| \(-\sin x+C\) |
Tính thể tích \(V\) của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi các đường \(y=x^2\) và \(y=\sqrt{x}\) quanh trục \(Ox\).
| \(V=\dfrac{3\pi}{10}\) |
| \(V=\dfrac{\pi}{10}\) |
| \(V=\dfrac{7\pi}{10}\) |
| \(V=\dfrac{9\pi}{10}\) |
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^2-2x\), \(y=0\), \(x=0\), \(x=1\) quanh trục hoành là
| \(\dfrac{8\pi}{15}\) |
| \(\dfrac{7\pi}{3}\) |
| \(\dfrac{15\pi}{8}\) |
| \(\dfrac{8\pi}{7}\) |
Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol \((P)\colon y=x^2\) và đường thẳng \(d\colon y=2x\) quay quanh trục \(Ox\).
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(x^2-2x\right)^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}4x^2\mathrm{\,d}x-\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}x^4\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}4x^2\mathrm{\,d}x+\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}x^4\mathrm{\,d}x\) |
| \(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left(2x-x^2\right)\mathrm{\,d}x\) |