Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ thỏa mãn $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x-1}$, $f(3)=2021$. Tính $f(5)$.
$f(5)=2020-\dfrac{1}{2}\ln2$ | |
$f(5)=2021-\ln2$ | |
$f(5)=2021+\ln2$ | |
$f(5)=2020+\ln2$ |
Tính tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left(3x^2+\mathrm{e}^x+\dfrac{1}{x+1}\right)\mathrm{d}x$.
Biết rằng $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{5}\dfrac{3}{x^2+3x}\mathrm{d}x=a\ln5+b\ln2$ $\left(a,\,b\in\mathbb{Z}\right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
$a+2b=0$ | |
$2a-b=0$ | |
$a-b=0$ | |
$a+b=0$ |
Biết tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{2x+3}{2-x}\mathrm{d}x=a\ln2+b$ ($a,\,b\in\mathbb{Z}$), giá trị của $a$ bằng
$7$ | |
$2$ | |
$3$ | |
$1$ |
Tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{3}}\dfrac{\mathrm{d}x}{\sin^2x}$ bằng
$\cot\dfrac{\pi}{3}-\cot\dfrac{\pi}{4}$ | |
$\cot\dfrac{\pi}{3}+\cot\dfrac{\pi}{4}$ | |
$-\cot\dfrac{\pi}{3}+\cot\dfrac{\pi}{4}$ | |
$-\cot\dfrac{\pi}{3}-\cot\dfrac{\pi}{4}$ |
Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{2}{2x+1}\mathrm{d}x$ bằng
$2\ln5$ | |
$\dfrac{1}{2}\ln5$ | |
$\ln5$ | |
$4\ln5$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{a}-b\right)$ với $a$, $b$ là các số dương. Giá trị của biểu thức $T=a+b$ là
$10$ | |
$7$ | |
$6$ | |
$8$ |
Có bao nhiêu số nguyên $a\in(1;17)$ sao cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_1^5\dfrac{\mathrm{d}x}{2x-1}>\ln\left(\dfrac{a}{2}\right)$?
$4$ | |
$9$ | |
$15$ | |
$0$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^1\left(\dfrac{9}{x-3}-\dfrac{7}{x-2}\right)\mathrm{\,d}x=a\ln{3}-b\ln{2}$. Tính giá trị $P=a^2+b^2$.
$P=32$ | |
$P=130$ | |
$P=2$ | |
$P=16$ |
Biết rằng \(I=\displaystyle\int\limits_{1}^{a}\dfrac{\ln x}{x^2}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1-\ln2}{2}\). Giá trị của \(a\) bằng
\(2\) | |
\(\ln2\) | |
\(4\) | |
\(8\) |
Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}\dfrac{\sqrt{2+\ln x}}{2x}\mathrm{\,d}x\).
\(\dfrac{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{3}\) | |
\(\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}\) | |
\(\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3}\) | |
\(\dfrac{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{3}\) |
Tích phân \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\dfrac{\mathrm{d}x}{2x+3}\) bằng
\(\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{7}{5}\) | |
\(\ln\dfrac{7}{5}\) | |
\(2\ln\dfrac{7}{5}\) | |
\(\dfrac{1}{2}\ln35\) |
Hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \([1;4]\) và thỏa mãn \(f(x)=\dfrac{f\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{\ln x}{x}\). Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{3}^{4}f(x)\mathrm{\,d}x\).
\(I=3+2\ln^22\) | |
\(I=\ln^2\) | |
\(I=2\ln2\) | |
\(I=2\ln^22\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^2+1}{x+1}\mathrm{\,d}x=a+b\ln c\), với \(a\in\mathbb{Q}\), \(b\in\mathbb{Z}\), \(c\) là số nguyên tố. Ta có \(2a+b+c\) bằng
\(5\) | |
\(4\) | |
\(3\) | |
\(2\) |
Giả sử tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{1}^{6}\dfrac{1}{2x+1}\mathrm{\,d}x=\ln M\), tìm \(M\).
\(M=13\) | |
\(M=4,33\) | |
\(M=\sqrt{\dfrac{13}{3}}\) | |
\(M=\dfrac{13}{3}\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=\dfrac{1}{2x-1}\) và \(f(1)=1\). Giá trị \(f(5)\) bằng
\(1+\ln2\) | |
\(1+\ln3\) | |
\(\ln2\) | |
\(\ln3\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_1^3 \dfrac{\left(x+6\right)^{2017}}{x^{2019}}\mathrm{\,d}x=\dfrac{a^{2018}-3^{2018}}{6\cdot 2018}\). Tính \(a\).
\(7\) | |
\(9\) | |
\(6\) | |
\(8\) |
Tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\mathrm{\,d}x=a-\ln b\), trong đó \(a,\,b\) là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức \(a+b\).
\(1\) | |
\(0\) | |
\(-1\) | |
\(3\) |
Biết rằng \(\displaystyle\int\limits_2^7\dfrac{x\mathrm{\,d}x}{x^2+1}=a\ln2-b\ln5\) với \(a,\,b\in\Bbb{Q}\). Giá trị của \(2a+b\) bằng
\(\dfrac{3}{2}\) | |
\(\dfrac{1}{2}\) | |
\(1\) | |
\(2\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\sin x+1}\mathrm{\,d}x=a\ln2+b\ln3\) (\(a,\,b\in\mathbb{Z}\)). Khi đó, giá trị của \(a\cdot b\) là
\(2\) | |
\(-2\) | |
\(-4\) | |
\(3\) |