Cho biết \(\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{x^2+x+1}{x+1}\ \mathrm{\,d}x=a+b\ln2\), trong đó \(a,\,b\) là hai số hữu tỉ, thì
\(a+b=\dfrac{1}{2}\) | |
\(a+b=\dfrac{3}{2}\) | |
\(a+b=-\dfrac{1}{2}\) | |
\(a+b=\dfrac{5}{2}\) |
Biết rằng \(\displaystyle\int\limits_2^3 \dfrac{5x+12}{x^2+5x+6}\mathrm{\,d}x=a\ln2+b\ln5+c\ln6\). Tính \(S=3a+2b+c\).
\(-11\) | |
\(-14\) | |
\(-2\) | |
\(3\) |
Cho tích phân \(\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{x^3-3x^2+2x}{x+1}\mathrm{\,d}x=a+b\ln2+c\ln3\) với \(a,\,b,\,c\in\mathbb{R}\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(b<0\) | |
\(c>0\) | |
\(a<0\) | |
\(a+b+c>0\) |
Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{\mathrm{\,d}x}{x^2-9}\).
\(I=\dfrac{1}{6}\ln\dfrac{1}{2}\) | |
\(I=-\dfrac{1}{6}\ln\dfrac{1}{2}\) | |
\(I=\dfrac{1}{6}\ln2\) | |
\(I=\ln\sqrt[6]{2}\) |
Biết \(\displaystyle\int\limits_1^2{\dfrac{\mathrm{\,d}x}{4x^2-4x+1}}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) thì \(a,\,b\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?
\(x^2-5x+6=0\) | |
\(x^2+4x-12=0\) | |
\(2x^2-x-1=0\) | |
\(x^2-9=0\) |
Biết \(\displaystyle\int\limits_{\tfrac{1}{3}}^1\dfrac{x-5}{2x+2}\mathrm{\,d}x=a+\ln b\) với \(a,\,b\in\mathbb{R}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(ab=\dfrac{8}{81}\) | |
\(a+b=\dfrac{7}{24}\) | |
\(ab=\dfrac{9}{8}\) | |
\(a+b=\dfrac{3}{10}\) |
Cho \(\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{\mathrm{\,d}x}{x^2+3x+2}=a\ln2+b\ln3\) với \(a\), \(b\) là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(a+2b=0\) | |
\(a-2b=0\) | |
\(a+b=-2\) | |
\(a+b=2\) |
Tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{2x^2+3x-6}{2x+1}\mathrm{\,d}x\) có giá trị là
\(\dfrac{3}{2}-\dfrac{7}{2}\ln3\) | |
\(\dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{2}\ln3\) | |
\(5\ln3\) | |
\(-2\ln3\) |
Tích phân \(\displaystyle\int\limits_2^4\dfrac{x}{x-1}\mathrm{\,d}x\) bằng
\(2-\ln3\) | |
\(1+\ln3\) | |
\(\dfrac{2}{5}\) | |
\(2+\ln3\) |
Tích phân \(\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{\mathrm{\,d}x}{2x+1}\) bằng
\(\log\dfrac{5}{3}\) | |
\(\dfrac{2}{15}\) | |
\(\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{5}{3}\) | |
\(\dfrac{16}{225}\) |
Giá trị tích phân \(\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{x+4}{x+3}\mathrm{\,d}x\) bằng
\(\ln\dfrac{5}{3}\) | |
\(1+\ln\dfrac{4}{3}\) | |
\(\ln\dfrac{3}{5}\) | |
\(1-\ln\dfrac{3}{5}\) |
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm với mọi \(x\in\mathbb{R}\) và \(f'(x)=2x+1\). Giá trị \(f(2)-f(1)\) bằng
\(4\) | |
\(-2\) | |
\(2\) | |
\(0\) |
Cho hàm số \(f(x)=\displaystyle\int\limits_1^{\sqrt{x}}\left(4t^3-8t\right) \mathrm{\,d}t\). Gọi \(m\), \(M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([1;6]\). Tính \(M-m\).
\(16\) | |
\(12\) | |
\(18\) | |
\(9\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có một nguyên hàm là hàm số \(y=\dfrac{1}{2}x^2-x+1\). Giá trị của biểu thức \(\displaystyle\int\limits_1^2f\left(x^2\right)\mathrm{\,d}x\) bằng
\(-\dfrac{4}{3}\) | |
\(\dfrac{4}{3}\) | |
\(-\dfrac{2}{3}\) | |
\(\dfrac{2}{3}\) |
Cho \(I=\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{4}}\tan^2x\mathrm{\,d}x=a-\dfrac{b\pi}{c}\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên dương, \(b\) và \(c\) nguyên tố cùng nhau. Giá trị của biểu thức \(T=\dfrac{a}{b}+2c\) là
\(7\) | |
\(5\) | |
\(9\) | |
\(3\) |
\(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\dfrac{1}{x+1}+2x\), \(\forall x>-1\). Biết \(F(0)=0\). Giá trị \(F(1)\) bằng
\(3+\ln2\) | |
\(\ln2\) | |
\(2+\ln2\) | |
\(1+\ln2\) |
Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_1^{\ln3}\dfrac{1}{e^x}\mathrm{\,d} x.\)
\(\dfrac{1}{e-2}\) | |
\(\dfrac{3-e}{3e}\) | |
\(3e^{-1}\) | |
\(e^2-2\) |
Biết \(I=\displaystyle\int\limits_2^5\dfrac{|x-2|}{x}\mathrm{\,d}x=a\ln2+b\ln5+c\) với \(a\), \(b\), \(c\in\mathbb{Z}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(a+2b=2\) | |
\(a+b=0\) | |
\(a=2c\) | |
\(a+c=b\) |
Tìm các giá trị của \(b\) sao cho \(\displaystyle\int\limits_0^b(2x-4)\mathrm{\,d}x=5\).
\(\{-1;4\}\) | |
\(\{5\}\) | |
\(\{-1\}\) | |
\(\{-1;5\}\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục, luôn dương trên \([0;3]\) và thỏa mãn \(I=\displaystyle\int\limits_0^3 f(x)\mathrm{\,d}x=4\). Khi đó giá trị của tích phân \(K=\displaystyle\int\limits_0^3 (\mathrm{e}^{1+\ln f(x)}+4)\mathrm{\,d}x\) là
\(14+3\mathrm{e}\) | |
\(4\mathrm{e}+14\) | |
\(12+4\mathrm{e}\) | |
\(3\mathrm{e}+12\) |