Cho tổng \(S_n=\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}\) với \(n\in\Bbb{N}^*\). Tính \(S_{2017}\).
 | \(S_{2017}=\dfrac{2017}{2018}\) |
 | \(S_{2017}=\dfrac{2017}{4035}\) |
 | \(S_{2017}=\dfrac{1}{2018}\) |
 | \(S_{2017}=\dfrac{2017}{4033}\) |
Cho tổng \(S_n=\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}\) với \(n\in\Bbb{N}^*\). Tính \(S_{2017}\).
| \(S_{2017}=\dfrac{2017}{2018}\) |
| \(S_{2017}=\dfrac{1}{2017}\) |
| \(S_{2017}=\dfrac{1}{2018}\) |
| \(S_{2017}=\dfrac{2018}{2017}\) |
Với \(n\in\Bbb{N}^*\), mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
| \(2+5+8+\cdots+(3n-1)=\dfrac{n(3n+1)}{2}\) |
| \(2+5+8+\cdots+(3n-1)=\dfrac{n(3n-1)}{2}\) |
| \(2+5+8+\cdots+(3n-1)=\dfrac{n(n+1)}{2}\) |
| \(2+5+8+\cdots+(3n-1)=\dfrac{n(3n-2)}{2}\) |
Với mọi số nguyên dương $n$, để chứng minh $\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{n}{2n+1}$ bằng phương pháp quy nạp toán học, sau giả thiết quy nạp ta cần chứng minh điều gì?
| $\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\dfrac{k+1}{2k+3}$ |
| $\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{k+1}{2k+3}$ |
| $\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{k}{2k+1}$ |
| $\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\dfrac{k}{2k+1}$ |
Với mọi số nguyên dương $n$, đặt $S_n=\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$. Để chứng minh $S_n=\dfrac{n}{2n+1}$ bằng phương pháp quy nạp toán học, sau giả thiết quy nạp ta cần chứng minh điều gì?
| $S_{k+1}=\dfrac{k+1}{2k+3}$ |
| $S_{k+1}=\dfrac{k}{2k+1}$ |
| $S_k=\dfrac{k}{2k+1}$ |
| $S_{k+1}=\dfrac{k+1}{2k+1}$ |
Chứng minh rằng $$1+3+6+\cdots+\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6},\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$2+5+8+\cdots+(3n-1)=\dfrac{n(3n+1)}{2},\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n-1)^2=\dfrac{n(4n^2-1)}{3},\,\,\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2,\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Chứng minh rằng $$1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2},\text{ }\forall n\in\Bbb{N}^*$$
Với mọi \(n\in\Bbb{N}^*\), cho \(S_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
| \(S_n=\dfrac{2^n+1}{2^n}\) |
| \(S_n=\dfrac{2^n-1}{2^n}\) |
| \(S_n=\dfrac{2+n}{2^n}\) |
| \(S_n=\dfrac{2^n+31}{2^n}\) |
Tổng \(S_n=1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots+n(n+1)\) với \(n\in\Bbb{N}^*\) bằng
| \(\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\) |
| \(\dfrac{(n+1)(n+2)}{3}\) |
| \(1+n^2\) |
| \(\dfrac{n(n+1)}{2}\) |
Cho biểu thức \(S_n=2^2+4^2+6^2+\cdots+(2n)^2\) với \(n\in\Bbb{N}^*\). Tính \(S_5\).
| \(S_5=100\) |
| \(S_5=156\) |
| \(S_5=220\) |
| \(S_5=30\) |
Cho tổng \(S_n=1+3+6+\cdots+\dfrac{n(n+1)}{2}\), với \(n\) là số nguyên dương tùy ý. Tìm \(S_{k+1}\).
| \(S_{k+1}=1+3+6+\cdots+\dfrac{k(k+1)}{2}+\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}\) |
| \(S_{k+1}=1+3+6+\cdots+\dfrac{(k-1)k}{2}+\dfrac{k(k+1)}{2}\) |
| \(S_{k+1}=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}\) |
| \(S_{k+1}=\dfrac{k(k+1)}{2}\) |
Với mọi \(n\in\Bbb{N}^2\), cho \(S_n=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\). Tính \(S_{n+1}\).
| \(S_{n+1}=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2+(n+1)\) |
| \(S_{n+1}=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2+(n+1)^2\) |
| \(S_{n+1}=(n+1)^2\) |
| \(S_{n+1}=1^2+2^2+3^2+n^2+(n+1)^2\) |
Với mọi số nguyên dương $n$, để chứng minh $3^{2n+1}+2^{n+2}$ chia hết cho $7$ bằng phương pháp quy nạp toán học, sau giả thiết quy nạp ta cần chứng minh điều gì?
| $3^{2n+1}+2^{n+2}$ chia hết cho $8$ |
| $3^{2k+1}+2^{k+2}$ chia hết cho $7$ |
| $3^{2k+1}+2^{k+2}$ chia hết cho $8$ |
| $3^{2k+3}+2^{k+3}$ chia hết cho $7$ |
Với mọi số nguyên dương $n$, để chứng minh $7\cdot2^{2n-2}+3^{2n-1}$ chia hết cho $5$ bằng phương pháp quy nạp toán học, sau giả thiết quy nạp ta cần chứng minh điều gì?
| $7\cdot2^{2n-2}+3^{2n-1}$ chia hết cho $6$ |
| $7\cdot2^{2k-2}+3^{2k-1}$ chia hết cho $5$ |
| $7\cdot2^{2k}+3^{2k+1}$ chia hết cho $6$ |
| $7\cdot2^{2k}+3^{2k+1}$ chia hết cho $5$ |
Với mọi số nguyên dương $n$, tổng $S_n=3^{2n+1}+2^{n+2}$ chia hết cho
| $7$ |
| $35$ |
| $5$ |
| $259$ |
Với mọi số nguyên dương $n$, tổng $S_n=7\cdot2^{2n-2}+3^{2n-1}$ chia hết cho
| $2$ |
| $3$ |
| $5$ |
| $10$ |