Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{4}f(x)\mathrm{\,d}x=2020$. Giá trị của $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}xf\left(x^2\right)\mathrm{\,d}x$ bằng
 | $1008$ |
 | $4040$ |
 | $1010$ |
 | $2019$ |
Biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin(1-2x)$ và $F\left(\dfrac{1}{2}\right)=1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $F(x)=\dfrac{1}{2}\cos(1-2x)+\dfrac{1}{2}$ |
| $F(x)=\cos(1-2x)$ |
| $F(x)=\cos(1-2x)+1$ |
| $F(x)=-\dfrac{1}{2}\cos(1-2x)+\dfrac{3}{2}$ |
Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^2-\mathrm{e}^x+1-m$ với $m$ là tham số. Biết rằng $F(0)=2$ và $F(2)=1-\mathrm{e}^2$. Giá trị của $m$ thuộc khoảng
| $(3;5)$ |
| $(5;7)$ |
| $(6;8)$ |
| $(4;6)$ |
Cho số phức $z=-5+2i$. Phần thực và phần ảo của số phức $\overline{z}$ lần lượt là
| $5$ và $-2$ |
| $5$ và $2$ |
| $-5$ và $2$ |
| $-5$ và $-2$ |
Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)\colon2x-3z+2=0$ có một vectơ pháp tuyến là
| $\overrightarrow{n}=(2;-3;0)$ |
| $\overrightarrow{n}=(2;-3;2)$ |
| $\overrightarrow{n}=(2;3;2)$ |
| $\overrightarrow{n}=(2;0;-3)$ |
Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $M(2;-1;1)$ và $N(0;1;3)$ là
| $\begin{cases}x=2\\ y=-1+t\\ z=1+3t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=2+t\\ y=1-t\\ z=-1-t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=2+t\\ y=-1\\ z=1+2t\end{cases}$ |
| $\begin{cases}x=2+t\\ y=-1-t\\ z=1-t\end{cases}$ |
Cho số phức $z=x+yi$ ($x,\,y\in\mathbb{R}$) thỏa mãn $z+2\overline{z}=2-4i$. Giá trị $3x+y$ bằng
| $7$ |
| $5$ |
| $6$ |
| $10$ |
Cho hình phẳng $\mathscr{D}$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2x-x^2$ và trục $Ox$. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $\mathscr{D}$ quanh trục $Ox$ bằng
| $\dfrac{256\pi}{15}$ |
| $\dfrac{64\pi}{15}$ |
| $\dfrac{16\pi}{15}$ |
| $\dfrac{4\pi}{3}$ |
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\mathrm{e}^x$ và các đường thẳng $y=0$, $x=0$, $x=2$ bằng
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x$ |
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{e}^{2x}\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x$ |
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=x\left(x^2+1\right)^9$ là
| $\dfrac{1}{10}\left(x^2+1\right)^{10}+C$ |
| $\left(x^2+1\right)^{10}$ |
| $\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)^{10}$ |
| $\dfrac{1}{20}\left(x^2+1\right)^{10}+C$ |
Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.
Diện tích phần tô đậm bằng
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{0}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)\colon x+2y+2z+11=0$ và $(Q)\colon x+2y+2z+2=0$ bằng
| $3$ |
| $1$ |
| $9$ |
| $6$ |
Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(1;1;-2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)\colon x-y-z-1=0$ là
| $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-2}{-1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{-2}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+2}{-1}$ |
| $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+1}{-2}$ |
Trong mặt phẳng $Oxy$, số phức $z=-2+4i$ được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm ở hình vẽ dưới đây?
| Điểm $D$ |
| Điểm $B$ |
| Điểm $C$ |
| Điểm $A$ |
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^3$ là
| $\dfrac{x^4}{4}+C$ |
| $3x^2+C$ |
| $x^4+C$ |
| $\dfrac{x^3}{3}+C$ |
Cho hình phẳng $\mathscr{D}$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{6}x$ và các đường thẳng $y=0$, $x=1$, $x=2$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\mathscr{D}$ quanh trục hoành bằng
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\sqrt{6}x\mathrm{\,d}x$ |
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}6x^2\mathrm{\,d}x$ |
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}6x^3\mathrm{\,d}x$ |
| $\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}6x^3\mathrm{\,d}x$ |
Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+z^2-2x+2y-6z+2=0$ cắt mặt phẳng $(Oyz)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng
| $3$ |
| $1$ |
| $2\sqrt{2}$ |
| $\sqrt{2}$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;4;1)$ và mặt phẳng $(P)\colon x-3y+2z-5=0$. Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm $A$ và song song với mặt phẳng $(P)$ là
| $2x+4y+z-8=0$ |
| $x-3y+2z+8=0$ |
| $x-3y+2z-8=0$ |
| $2x+4y+z+8=0$ |
Nếu đặt $u=2x+1$ thì $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}(2x+1)^4\mathrm{\,d}x$ bằng
| $\dfrac{1}{2}\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{3}u^4\mathrm{\,d}u$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{3}u^4\mathrm{\,d}u$ |
| $\dfrac{1}{2}\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}u^4\mathrm{\,d}u$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}u^4\mathrm{\,d}u$ |