Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt cầu tâm $I\left(1;2; 3\right)$ và bán kính $R=3$ là
 | $x^2+y^2+z^2+2x+4y+6z+5=0$ |
 | $\left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z+3\right)^2=9$ |
 | $\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=9$ |
 | $\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=3$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(-1;2;3\right)$, $B\left(1;0;2\right)$. Tìm điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{AB}=2\cdot\overrightarrow{MA}$?
| $M\left(-2;3;\dfrac{7}{2}\right)$ |
| $M\left(-2;3;7\right)$ |
| $M\left(-4;6;7\right)$ |
| $M\left(-2;-3;\dfrac{7}{2}\right)$ |
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(1;2;-4\right)$ và $B\left(-3;2;2\right)$. Toạ độ của $\overrightarrow{AB}$ là
| $\left(-2;4;-2\right)$ |
| $\left(-4;0;6\right)$ |
| $\left(4;0;-6\right)$ |
| $\left(-1;2;-1\right)$ |
Trong không gian $Oxyz$, các véctơ đơn vị trên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt là $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$, cho điểm $M\left(2;-1; 1\right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
| $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{k}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{i}$ |
| $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{k}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{i}$ |
| $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ |
| $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ |
Tính tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x^2\cos2x\mathrm{d}x$ bằng cách đặt $\begin{cases}u=x^2\\ \mathrm{d}v=\cos2x\mathrm{d}x\end{cases}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
| $I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ |
| $I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}-2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ |
| $I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}+2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ |
| $I=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x\bigg|_{0}^{\pi}+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin2x\mathrm{d}x$ |
Biết $f\left(x\right)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{9}f\left(x\right)\mathrm{d}x=9$. Khi đó tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{2}^{5}f\left(3x-6\right)\mathrm{d}x$.
| $I=27$ |
| $I=24$ |
| $I=3$ |
| $I=0$ |
Biết rằng $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{5}\dfrac{3}{x^2+3x}\mathrm{d}x=a\ln5+b\ln2$ $\left(a,\,b\in\mathbb{Z}\right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $a+2b=0$ |
| $2a-b=0$ |
| $a-b=0$ |
| $a+b=0$ |
Biết tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{2x+3}{2-x}\mathrm{d}x=a\ln2+b$ ($a,\,b\in\mathbb{Z}$), giá trị của $a$ bằng
| $7$ |
| $2$ |
| $3$ |
| $1$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x=2$; $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x=6$. Tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x$.
| $I=8$ |
| $I=12$ |
| $I=36$ |
| $I=4$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ thoả mãn điều kiện $f\left(1\right)=12$, $f'\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{4}f'\left(x\right)\mathrm{d}x=17$. Khi đó $f\left(4\right)$ bằng
| $5$ |
| $29$ |
| $19$ |
| $9$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b\right]$. Mệnh đề nào dưới đây sai?
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f\left(t\right)\mathrm{d}t$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)\mathrm{d}x}=-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{b}^{a}{f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}k\mathrm{d}x=k\left(a-b\right)$, $\forall k\in\mathbb{R}$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f\left(x\right)\mathrm{d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{c}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x$ |
Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ -1;1\right]$ thỏa mãn $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}f'\left(x\right)\mathrm{d}x=5$ và $f\left(-1\right)=4$. Tìm $f\left(1\right)$.
| $f\left(1\right)=-1$ |
| $f\left(1\right)=1$ |
| $f\left(1\right)=9$ |
| $f\left(1\right)=-9$ |
Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\left[ 0;10\right]$ thỏa mãn $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x=7$, $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{2}^{6}f\left(x\right)\mathrm{d}x=3$. Tính $P=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{6}^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x$.
| $P=4$ |
| $P=-4$ |
| $P=5$ |
| $P=7$ |
Tích phân $f\left(x\right)=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{3}}\cos x\mathrm{d}x$ bằng
| $\dfrac{1}{2}$ |
| $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $-\dfrac{1}{2}$ |
Tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{3}}\dfrac{\mathrm{d}x}{\sin^2x}$ bằng
| $\cot\dfrac{\pi}{3}-\cot\dfrac{\pi}{4}$ |
| $\cot\dfrac{\pi}{3}+\cot\dfrac{\pi}{4}$ |
| $-\cot\dfrac{\pi}{3}+\cot\dfrac{\pi}{4}$ |
| $-\cot\dfrac{\pi}{3}-\cot\dfrac{\pi}{4}$ |
Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\dfrac{2}{2x+1}\mathrm{d}x$ bằng
| $2\ln5$ |
| $\dfrac{1}{2}\ln5$ |
| $\ln5$ |
| $4\ln5$ |
Tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(\dfrac{1}{x}+2\right)\mathrm{d}x$ bằng
| $I=\ln2+2$ |
| $I=\ln2+1$ |
| $I=\ln2-1$ |
| $I=\ln2+3$ |
Cho biết $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$. Tìm $I=\displaystyle\displaystyle\int\left[2f\left(x\right)+1\right]\mathrm{d}x$.
| $I=2F\left(x\right)+1+C$ |
| $I=2xF\left(x\right)+1+C$ |
| $I=2xF\left(x\right)+x+C$ |
| $I=2F\left(x\right)+x+C$ |
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x-\sin2x$ là
| $\dfrac{x^2}{2}+\cos2x+C$ |
| $\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2}\cos2x+C$ |
| $x^2+\dfrac{1}{2}\cos2x+C$ |
| $\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2}\cos2x+C$ |
Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=5^x$.
| $\displaystyle\displaystyle\int{f\left(x\right)\mathrm{d}x}=5^x+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int{f\left(x\right)}\mathrm{d}x=5^x\ln5+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int{f\left(x\right)}\mathrm{d}x=\dfrac{5^x}{\ln5}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int{f\left(x\right)\mathrm{d}x}=\dfrac{5^{x+1}}{x+1}+C$ |