Cho tứ diện $SABC$ có $M$ là điểm nằm trên tia đối của tia $SA$, $O$ là điểm thuộc miền trong của tam giác $ABC$. Hãy tìm
- Giao điểm của đường thẳng $BC$ và $(SOA)$.
- Giao điểm của đường thẳng $MO$ và $(SBC)$.
Cho tứ diện $SABC$. Gọi $D$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $SA$.
- Tìm giao tuyến $SH$ của hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(SAE)$.
- Tìm giao tuyến $CI$ của hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(BFC)$.
- Hỏi $SH$ và $CI$ có cắt nhau không? Giải thích? Nếu có, gọi giao điểm đó là $O$, chứng minh $IH\parallel SC$. Tính tỉ số $\dfrac{OH}{OS}$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tứ giác lồi. Hai điểm $G$, $H$ lần lượt là trọng tâm của $\triangle SAB$ và $\triangle SCD$. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
- $(SGH)$ và $(ABCD)$.
- $(SAC)$ và $(SGH)$.
- $(SAC)$ và $(BGH)$.
- $(SCD)$ và $(BGH)$.
Cho tứ diện $SABC$. Lấy $E$, $F$ lần lượt trên đoạn $SA$, $SB$ sao cho $EF$ không song song với $AB$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Hãy tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng
- $(EFG)$ và $(ABC)$.
- $(EFG)$ và $(SBC)$.
- $(EFG)$ và $(SGC)$.
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ có cạnh bằng $a$. Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.
 | $3a$ |
 | $a\sqrt{2}$ |
 | $a\sqrt{3}$ |
 | $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ |
Cho hình lăng trụ đều $ABCD.EFGH$. Phát biểu nào sau đây không đúng?
| $ABCD$ là hình vuông |
| $AE\bot\left(ABCD\right)$ |
| $ABCD.EFGH$ là hình hộp chữ nhật |
| $ABCE$ là hình thoi |
Cho hình lăng trụ $ABC.DEF$ có $BCD$ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$ và mặt phẳng $\left(BCD\right)$ hợp với đáy một góc $60^\circ$. Biết tam giác $ABC$ cân tại $A$, tính chiều cao của hình lăng trụ.
| $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ |
| $\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}$ |
| $\dfrac{3a\sqrt{3}}{4}$ |
| $\dfrac{3a}{4}$ |
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ có cạnh bằng $1$. Tính khoảng cách $d$ từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(BDE\right)$.
| $d=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
| $d=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $d=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ |
| $d=\sqrt{3}$ |
Cho hình lăng trụ $ABC.DEF$ có cạnh $AD$ hợp với đáy một góc $60^\circ$ và hình chiếu vuông góc của $D$ trên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ trùng với trung điểm $M$ của cạnh $BC$. Biết rằng tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và $AB=a\sqrt{2}$, tính chiều cao của hình lăng trụ.
| $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ |
| $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ |
| $a\sqrt{3}$ |
| $2a\sqrt{2}$ |
Cho tứ diện $OABC$ có $OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc. Gọi $OH$ là đường cao của tứ diện. Khi đó $H$ là
| Trọng tâm $\triangle ABC$ |
| Trực tâm $\triangle ABC$ |
| Tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$ |
| Tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ |
Cho tứ diện $ABCD$ có hai mặt $\left(ABC\right)$ và $\left(BCD\right)$ vuông góc với nhau. Biết rằng $\triangle ABC$ đều cạnh $2a$ và $M$ là trung điểm $BC$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(BCD\right)$.
| $2a$ |
| $a\sqrt{3}$ |
| $2a\sqrt{3}$ |
| $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có hai mặt bên $\left(SAB\right)$ và $\left(SBC\right)$ đều vuông góc với mặt đáy $\left(ABCD\right)$. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với mặt đáy?
| $SA$ |
| $SB$ |
| $SC$ |
| $SD$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SA=a\sqrt{3}$ và hợp với đáy một góc $60^\circ$. Tính khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt đáy.
| $a\sqrt{3}$ |
| $\dfrac{3a}{2}$ |
| $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ |
| $2a$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy bằng nhau. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt đáy. Phát biểu nào sau đây đúng nhất?
| $S.ABC$ là hình chóp đều |
| $H$ là trực tâm của $\triangle ABC$ |
| $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ |
| $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$ |
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy bằng $2$, cạnh bên bằng $3$. Gọi $\varphi$ là góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng?
| $\tan\varphi=\sqrt{7}$ |
| $\varphi=60^\circ$ |
| $\varphi=45^\circ$ |
| $\tan\varphi=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có góc tạo bởi các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt đáy. Phát biểu nào sau đây đúng nhất?
| $S.ABC$ là hình chóp đều |
| $H$ là trực tâm của $\triangle ABC$ |
| $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ |
| $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$ |
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$. Biết rằng $SA=SC$ và $SB=SD$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
| $AB\bot\left(SAC\right)$ |
| $CD\bot AC$ |
| $SO\bot\left(ABCD\right)$ |
| $CD\bot\left(SBD\right)$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $SAB$. Khẳng định nào dưới đây sai?
| $SA\bot BC$ |
| $AH\bot BC$ |
| $AH\bot AC$ |
| $AH\bot SC$ |
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $SAB$. Khẳng định nào dưới đây sai?
| $SA\bot\left(ABC\right)$ |
| $AH\bot\left(ABC\right)$ |
| $AH\bot\left(SBC\right)$ |
| $BC\bot\left(SAB\right)$ |
Tìm $m$ để biểu thức $f\left(x\right)=x^2-\left(m+2\right)x+8m+1$ không âm với mọi $x$.
| $m>28$ |
| $0\leq m\leq28$ |
| $m<1$ |
| $0< m<28$ |