Tính $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{a}\dfrac{x^3+x}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{\,d}x$.
 | $I=\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}+1$ |
 | $I=\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}-1$ |
 | $I=\dfrac{1}{3}\left[\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}-1\right]$ |
 | $I=\dfrac{1}{3}\left[\left(a^2+1\right)\sqrt{a^2+1}+1\right]$ |
Biết $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=3x\cos(2x-5)+C$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
| $\displaystyle\displaystyle\int f(3x)\mathrm{\,d}x=9x\cos(6x-5)+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(3x)\mathrm{\,d}x=9x\cos(2x-5)+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(3x)\mathrm{\,d}x=3x\cos(2x-5)+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(3x)\mathrm{\,d}x=3x\cos(6x-5)+C$ |
Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi $t=0$ (s) chuyển động thẳng với vận tốc $v(t)=t(5-t)$ (m/s). Tìm quãng đường vật đi được khi nó dừng lại.
| $\dfrac{15}{4}$ m |
| $5$ m |
| $25$ m |
| $\dfrac{125}{6}$ m |
Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=-2x^3+x^2+x+5$ và $y=x^2-x+5$ bằng
| $S=\pi$ |
| $S=\dfrac{1}{2}$ |
| $S=0$ |
| $S=1$ |
Cho hàm số $f(x)=x^4-5x^2+4$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây là sai?
| $S=2\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
| $S=2\left|\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x\right|$ |
| $S=2\left|\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x\right|+2\left|\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x\right|$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-2}^{2}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{6}f(x)\mathrm{\,d}x=7$, $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{3}^{10}f(x)\mathrm{\,d}x=8$, $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{3}^{6}f(x)\mathrm{\,d}x=9$. Giá trị của $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{10}f(x)\mathrm{\,d}x$ bằng
| $8$ |
| $6$ |
| $7$ |
| $5$ |
Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ và $F(2)=1$. Tính $F(3)$.
| $F(3)=\dfrac{7}{4}$ |
| $F(3)=\ln2+1$ |
| $F(3)=\dfrac{1}{2}$ |
| $F(3)=\ln2-1$ |
Tích phân $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\mathrm{\,d}x=a+b\sqrt{2}$ với $a,\,b\in\mathbb{Q}$. Khi đó $a-b$ bằng
| $4$ |
| $-4$ |
| $1$ |
| $-1$ |
Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin2x$ và $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1$. Tính $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{3}{4}$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ |
| $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{5}{4}$ |
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x\left(x-\mathrm{e}^x\right)$ là
| $x^3+(3x-1)\mathrm{e}^x+C$ |
| $x^3-3(x-1)\mathrm{e}^x+C$ |
| $x^3+3(x-1)\mathrm{e}^x+C$ |
| $x^3-(3x+1)\mathrm{e}^x+C$ |
Kết quả của $I=\displaystyle\displaystyle\int x\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x$ là
| $I=x\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^x+C$ |
| $I=\dfrac{x^2}{2}\mathrm{e}^x+C$ |
| $I=\dfrac{x^2}{2}\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x+C$ |
| $I=x\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x+C$ |
Cho hàm số $f(x)=-x^2+3$ và hàm số $g(x)=x^2-2x-1$ có đồ thị như hình vẽ.
Tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}\left|f(x)-g(x)\right|\mathrm{\,d}x$ bằng với tích phân nào dưới đây?
| $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{\,d}x$ |
| $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}\left[g(x)-f(x)\right]\mathrm{\,d}x$ |
| $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}\left[\left|f(x)\right|-\left|g(x)\right|\right]\mathrm{\,d}x$ |
| $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}\left[f(x)+g(x)\right]\mathrm{\,d}x$ |
Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{\ln x}{x^2}$, $y=0$, $x=1$, $x=\mathrm{e}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
| $S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}\dfrac{\ln x}{x^2}\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}\dfrac{\ln x}{x^2}\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}\left(\dfrac{\ln x}{x^2}\right)^2\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\pi\displaystyle\displaystyle\int\limits_{1}^{\mathrm{e}}\left(\dfrac{\ln x}{x^2}\right)^2\mathrm{\,d}x$ |
Cho $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x=2$ và $\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}g(x)\mathrm{\,d}x=3$. Tính giá trị của tích phân $L=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{3}\left[2f(x)-g(x)\right]\mathrm{\,d}x$.
| $-4$ |
| $4$ |
| $-1$ |
| $1$ |
Cho hình phẳng $\left(\mathscr{D}\right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, hai đường thẳng $x=1$, $x=2$ và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left(\mathscr{D}\right)$ quanh trục hoành.
| $3\pi$ |
| $\dfrac{3}{2}$ |
| $\dfrac{2\pi}{3}$ |
| $\dfrac{3\pi}{2}$ |
Tích phân $I=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\mathrm{\,d}x$ bằng
| $2$ |
| $0$ |
| $1$ |
| $4$ |
Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{3x+1}$.
| $\ln|3x+1|+C$ |
| $\dfrac{1}{3}\ln|3x+1|+C$ |
| $\ln(3x+1)+C$ |
| $\dfrac{1}{3}\ln(3x+1)+C$ |
Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\mathrm{e}^{2021x}$.
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^{2021x}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^{2021x}\cdot\ln2021+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=2021\cdot\mathrm{e}^{2021x}+C$ |
| $\displaystyle\displaystyle\int f(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2021}\cdot\mathrm{e}^{2021x}+C$ |
Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f_1(x)$, $y=f_2(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ ($a< b$) được tính theo công thức
| $S=\left|\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[f_1(x)-f_2(x)\right]\mathrm{\,d}x\right|$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f_1(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f_2(x)\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[f_1(x)-f_2(x)\right]\mathrm{\,d}x$ |
| $S=\displaystyle\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f_1(x)-f_2(x)\right|\mathrm{\,d}x$ |
Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Biết hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại hai điểm $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $x_2=x_1+2$ và $f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)=0$. Gọi $S_1$ và $S_2$ là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số $\dfrac{S_1}{S_2}$ bằng
| $\dfrac{3}{4}$ |
| $\dfrac{5}{8}$ |
| $\dfrac{3}{8}$ |
| $\dfrac{3}{5}$ |