Với mọi \(n\in\Bbb{N}^*\), cho \(S_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
 | \(S_n=\dfrac{2^n+1}{2^n}\) |
 | \(S_n=\dfrac{2^n-1}{2^n}\) |
 | \(S_n=\dfrac{2+n}{2^n}\) |
 | \(S_n=\dfrac{2^n+31}{2^n}\) |
Tổng \(S_n=1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots+n(n+1)\) với \(n\in\Bbb{N}^*\) bằng
| \(\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\) |
| \(\dfrac{(n+1)(n+2)}{3}\) |
| \(1+n^2\) |
| \(\dfrac{n(n+1)}{2}\) |
Cho biểu thức \(S_n=2^2+4^2+6^2+\cdots+(2n)^2\) với \(n\in\Bbb{N}^*\). Tính \(S_5\).
| \(S_5=100\) |
| \(S_5=156\) |
| \(S_5=220\) |
| \(S_5=30\) |
Cho tổng \(S_n=1+3+6+\cdots+\dfrac{n(n+1)}{2}\), với \(n\) là số nguyên dương tùy ý. Tìm \(S_{k+1}\).
| \(S_{k+1}=1+3+6+\cdots+\dfrac{k(k+1)}{2}+\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}\) |
| \(S_{k+1}=1+3+6+\cdots+\dfrac{(k-1)k}{2}+\dfrac{k(k+1)}{2}\) |
| \(S_{k+1}=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}\) |
| \(S_{k+1}=\dfrac{k(k+1)}{2}\) |
Với mọi \(n\in\Bbb{N}^2\), cho \(S_n=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\). Tính \(S_{n+1}\).
| \(S_{n+1}=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2+(n+1)\) |
| \(S_{n+1}=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2+(n+1)^2\) |
| \(S_{n+1}=(n+1)^2\) |
| \(S_{n+1}=1^2+2^2+3^2+n^2+(n+1)^2\) |
Với mọi số nguyên dương $n$, để chứng minh $3^{2n+1}+2^{n+2}$ chia hết cho $7$ bằng phương pháp quy nạp toán học, sau giả thiết quy nạp ta cần chứng minh điều gì?
| $3^{2n+1}+2^{n+2}$ chia hết cho $8$ |
| $3^{2k+1}+2^{k+2}$ chia hết cho $7$ |
| $3^{2k+1}+2^{k+2}$ chia hết cho $8$ |
| $3^{2k+3}+2^{k+3}$ chia hết cho $7$ |
Với mọi số nguyên dương $n$, để chứng minh $7\cdot2^{2n-2}+3^{2n-1}$ chia hết cho $5$ bằng phương pháp quy nạp toán học, sau giả thiết quy nạp ta cần chứng minh điều gì?
| $7\cdot2^{2n-2}+3^{2n-1}$ chia hết cho $6$ |
| $7\cdot2^{2k-2}+3^{2k-1}$ chia hết cho $5$ |
| $7\cdot2^{2k}+3^{2k+1}$ chia hết cho $6$ |
| $7\cdot2^{2k}+3^{2k+1}$ chia hết cho $5$ |
Với mọi số nguyên dương $n$, tổng $S_n=3^{2n+1}+2^{n+2}$ chia hết cho
| $7$ |
| $35$ |
| $5$ |
| $259$ |
Với mọi số nguyên dương $n$, tổng $S_n=7\cdot2^{2n-2}+3^{2n-1}$ chia hết cho
| $2$ |
| $3$ |
| $5$ |
| $10$ |
Với $\forall n\in\mathbb{N}^*$, biểu thức $13^n-1$ luôn chia hết cho
| $13$ |
| $12$ |
| $36$ |
| $168$ |
Với $\forall n\in\mathbb{N}^*$, để chứng minh $13^n-1$ chia hết cho $6$ bằng phương pháp quy nạp toán học, sau giả thiết quy nạp ta cần chứng minh điều gì?
| $13^n-1$ chia hết cho $6$ |
| $13^k-1$ chia hết cho $6$ |
| $13^{k+1}-1$ chia hết cho $6$ |
| $13^k+1$ chia hết cho $6$ |
Với $\forall n\in\mathbb{N}^*$, để chứng minh $13^n-1$ chia hết cho $6$ bằng phương pháp quy nạp toán học, giả thiết quy nạp là
| $13^n-1$ chia hết cho $6$ |
| $13^k-1$ chia hết cho $6$ |
| $13^{k+1}-1$ chia hết cho $6$ |
| $13^k+1$ chia hết cho $6$ |
Với mọi số nguyên dương $n$, để chứng minh $\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{n}{2n+1}$ bằng phương pháp quy nạp toán học, sau giả thiết quy nạp ta cần chứng minh điều gì?
| $\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\dfrac{k+1}{2k+3}$ |
| $\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{k+1}{2k+3}$ |
| $\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{k}{2k+1}$ |
| $\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\dfrac{k}{2k+1}$ |
Với mọi số nguyên dương $n$, đặt $S_n=\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$. Để chứng minh $S_n=\dfrac{n}{2n+1}$ bằng phương pháp quy nạp toán học, sau giả thiết quy nạp ta cần chứng minh điều gì?
| $S_{k+1}=\dfrac{k+1}{2k+3}$ |
| $S_{k+1}=\dfrac{k}{2k+1}$ |
| $S_k=\dfrac{k}{2k+1}$ |
| $S_{k+1}=\dfrac{k+1}{2k+1}$ |
Với mọi số nguyên dương $n$, tổng $S_n=n^3+3n^2+5n+3$ luôn chia hết cho
| $3$ |
| $4$ |
| $5$ |
| $7$ |
Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $u_n=5\cdot2^{3n-2}+3^{3n-1}$. Một học sinh chứng minh $u_n$ luôn chia hết cho $19$ như sau:
- Bước 1. Khi $n=1$, ta có $u_1=5\cdot2^1+3^2=19$ chia hết cho $19$.
- Bước 2. Giả sử $u_k=5\cdot2^{3k-2}+3^{3k-1}$ chia hết cho $19$, với $k\geq1$.
Khi đó $\begin{aligned}[t] u_{k+1}&=5\cdot2^{3k+1}+3^{3k+2}\\ &=2^3\cdot5\cdot2^{3k-2}+3^3\cdot3^{3k-1}\\ &=8\cdot5\cdot2^{3k-2}+8\cdot3^{3k-1}+19\cdot3^{3k-1}\\ &=8\big(5\cdot2^{3k-2}+3^{3k-1}\big)+19\cdot3^{3k-1}. \end{aligned}$ - Bước 3. Vì $5\cdot2^{3k-2}+3^{3k-1}$ và $19\cdot3^{3k-1}$ chia hết cho $19$ nên $u_{k+1}$ chia hết cho $19$
Vậy $u_n$ chia hết cho $19$ với $\forall n\in\mathbb{N}$.
Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
| Sai từ bước 1 |
| Sai từ bước 2 |
| Sai ở bước 3 |
| Đúng |
Với số tự nhiên $n$, mệnh đề nào sau đây là đúng?
| $2^n>2n+1,\,\forall n\geq2$ |
| $2^n>2n+1,\,\forall n\geq3$ |
| $2^n>2n+1,\,\forall n\geq1$ |
| $2^n>2n+1,\,\forall n\in\mathbb{N}$ |
Bất đẳng thức $2^n>2n+1$ đúng với những số tự nhiên nào sau đây?
| $n\geq3$ |
| $n\leq3$ |
| $n\geq0$ |
| $n\geq1$ |
Để chứng minh mệnh đề "$2^n>2n+1$ với mọi số tự nhiên $n\geq3$" bằng phương pháp quy nạp toán học, giả thiết quy nạp là
| $2^{k+1}>2{k+1}+1$, với $k\geq3$ |
| $2^k>2k+1$, với $k=3$ |
| $2^k>2k+1$, với $k\geq3$ |
| $2^k>2k+1$, với $k\geq1$ |
Để chứng minh mệnh đề "$2^n>2n+1$ với mọi số tự nhiên $n\geq3$" bằng phương pháp quy nạp toán học, đầu tiên chúng ta cần chứng minh mệnh đề đúng với
| $n=1$ |
| $n=2$ |
| $n=3$ |
| $n=k\geq3$ |