Cho hàm số \(y=\pi^x\) có đồ thị \((C)\). Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi \((C)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=2\), \(x=3\). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành được tính bởi công thức
 | \(V=\pi^2\displaystyle\int\limits_{2}^{3}\pi^x\mathrm{\,d}x\) |
 | \(V=\pi^3\displaystyle\int\limits_{2}^{3}\pi^x\mathrm{\,d}x\) |
 | \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{2}^{3}\pi^{2x}\mathrm{\,d}x\) |
 | \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{3}^{2}\pi^{2x}\mathrm{\,d}x\) |
Thể tích khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\dfrac{x}{4}\), \(y=0\), \(x=1\), \(x=4\) quay quanh trục \(Ox\) là
| \(\dfrac{21\pi}{16}\) |
| \(\dfrac{15}{16}\) |
| \(\dfrac{21}{16}\) |
| \(\dfrac{15\pi}{8}\) |
Thể tích khối tròn xoay có được khi quay quanh trục \(Ox\) hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x}\), \(y=0\), \(x=0\), \(x=1\) bằng
| \(V=\dfrac{\pi}{2}\) |
| \(V=\dfrac{2\pi}{3}\) |
| \(V=\dfrac{2}{3}\) |
| \(V=\dfrac{1}{2}\) |
Cho hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=-x^2+3x-2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1\), \(x=2\). Quay \((H)\) xung quanh trục hoành được khối tròn xoay có thể tích là
| \(V=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left|x^2-3x+2\right|\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left|x^2-3x+2\right|^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(x^2-3x+2\right)^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left|x^2-3x+2\right|\mathrm{\,d}x\) |
Viết công thức tính thể tích \(V\) của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=\ln4\), bị cắt bởi một mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ \(x\in(0;\ln4)\), có thiết diện là một hình vuông cạnh \(\sqrt{x\mathrm{e}^x}\).
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{\ln4}x\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{0}^{\ln4}\sqrt{x\mathrm{e}^x}\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{0}^{\ln4}x\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{\ln4}\left[x\mathrm{e}^x\right]^2\mathrm{\,d}x\) |
Cho hình phẳng trong hình vẽ bên (phần tô đậm) quay quanh trục hoành.
Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào trong các công thức sau đây?
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[g^2(x)-f^2(x)\right]\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[f(x)-g(x)\right]^2\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[f^2(x)-g^2(x)\right]\mathrm{\,d}x\) |
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\). Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a\), \(x=b\). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành được tính theo công thức
| \(V=2\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=2\pi^2\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=2\pi^2\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{\,d}x\) |
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\). Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a\), \(x=b\); \(V\) là thể tích của khối tròn xoay được thành khi quay \((H)\) quanh trục \(Ox\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\pi\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(V=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|\mathrm{\,d}x\) |
Cho \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=2x^2-1\) và nửa đường tròn có phương trình \(y=\sqrt{2-x^2}\) với \(-\sqrt{2}\leq x\leq\sqrt{2}\) (phần gạch chéo trong hình vẽ).
Diện tích của hình \((H)\) bằng
| \(\dfrac{3\pi-2}{6}\) |
| \(\dfrac{3\pi+10}{3}\) |
| \(\dfrac{3\pi+2}{6}\) |
| \(\dfrac{3\pi+10}{6}\) |
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=-x^2+2x\) và đường thẳng \(y=-3x\).
| \(S=\dfrac{125}{2}\) |
| \(S=\dfrac{125}{3}\) |
| \(S=\dfrac{125}{6}\) |
| \(S=\dfrac{125}{8}\) |
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=x^2\) và đường thẳng \(y=2x\).
| \(S=\dfrac{5}{3}\) |
| \(S=\dfrac{14}{3}\) |
| \(S=\dfrac{20}{3}\) |
| \(S=\dfrac{4}{3}\) |
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol \(y=x^2-2x\) và \(y=2x^2-x-2\) là
| \(\dfrac{9}{2}\) |
| \(9\) |
| \(5\) |
| \(4\) |
Tính diện tích \(S\) của phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y=x^3-3x^2\) và \(y=x^2+x-4\).
| \(S=\dfrac{253}{12}\) |
| \(S=\dfrac{125}{12}\) |
| \(S=\dfrac{16}{3}\) |
| \(S=\dfrac{63}{4}\) |
Cho \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{2x}\), \(y=2x-2\) và trục hoành. Tính diện tích của \((H)\).
| \(S=\dfrac{5}{3}\) |
| \(S=\dfrac{16}{3}\) |
| \(S=\dfrac{10}{3}\) |
| \(S=\dfrac{8}{3}\) |
Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi elip \((E)\) có phương trình \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), với \(a,\,b>0\).
| \(S=\pi\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\) |
| \(S=\pi(a+b)^2\) |
| \(S=\pi ab\) |
| \(S=\dfrac{\pi a^2b^2}{a+b}\) |
Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=-x^3+3x^2-2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0\), \(x=2\) là
| \(S=\dfrac{5}{2}\) |
| \(S=\dfrac{3}{2}\) |
| \(S=\dfrac{7}{2}\) |
| \(S=4\) |
Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành, \(x=a\), \(x=b\).
Khi đó \(S\) được tính theo công thức nào dưới đây?
| \(S=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{c}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=-\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{c}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\left|\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{c}^{b}f(x)\mathrm{\,d}x\right|\) |
Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=-1\), \(x=2\) (như hình vẽ).
Đặt \(a=\displaystyle\int\limits_{-1}^{0}f(x)\mathrm{\,d}x\), \(b=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}f(x)\mathrm{\,d}x\), mệnh đề nào dưới đây đúng?
| \(S=b-a\) |
| \(S=b+a\) |
| \(S=a-b\) |
| \(S=-a-b\) |
Cho hai hàm số \(y=f_1(x)\) và \(y=f_2(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\). Diện tích hình phẳng \(S\) giới hạn bởi các đường cong \(y=f_1(x)\), \(y=f_2(x)\) và các đường thẳng \(x=a\), \(x=b\) (\(a<b\)) được xác định bởi công thức nào sau đây?
| \(S=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f_1(x)+f_2(x)\right|\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[f_1(x)-f_2(x)\right]\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\left|\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[f_1(x)-f_2(x)\right]\mathrm{\,d}x\right|\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f_1(x)-f_2(x)\right|\mathrm{\,d}x\) |
Cho hai hàm số \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\) lên tục trên đoạn \([a;b]\). Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số và hai đường thẳng \(x=a\), \(x=b\) (\(a< b\)). Diện tích của \(D\) được tính theo công thức
| \(S=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\displaystyle\int\limits_{b}^{a}\left|f(x)-g(x)\right|\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\pi\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|\mathrm{\,d}x\) |
| \(S=\left|\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{\,d}x\right|\) |